مقالات

5.2: أنظمة متجانسة من المعادلات التفاضلية


في هذه المناقشة سنبحث في كيفية حل أنظمة متجانسة معينة من المعادلات التفاضلية الخطية. سننظر أيضًا في رسم تخطيطي للحلول.

مثال ( PageIndex {1} )

ضع في اعتبارك نظام المعادلات التفاضلية

[x '= x + y nonumber ]

[y '= -2x + 4y. لا يوجد رقم ]

هذا نظام من المعادلات التفاضلية. من الواضح أن الحل التافه ( (س = 0 ) و (ص = 0 )) هو حل يسمى العقدة لهذا النظام. نريد التحقيق في سلوك الحلول الأخرى. هل يقتربون من الأصل أم ينفرون منه؟ يمكننا رسم النظام عن طريق رسم أسهم الاتجاه. سنقوم بحساب عدد قليل من هذه الأسهم ثم نستخدم الكمبيوتر لإنهاء الرسم.

ضع في اعتبارك النقطة ((0،1) ). لدينا

[س '= 1 ؛ ؛ ؛ نص {and} ؛ ؛ ؛ ص '= 4 بلا رقم ]

لهذا السبب

[ dfrac {dy} {dx} = dfrac {4} {1} = 4. nonumber ]

نرسم سهمًا صغيرًا ينطلق من ((0،1) ) بميل 4.

تأمل النقطة ((1،0) ). لدينا

[س '= 1 ؛ ؛ ؛ نص {and} ؛ ؛ ؛ ص '= -2 غير رقم ]

لهذا السبب

[ dfrac {dy} {dx} = dfrac {-2} {1} = -2. nonumber ]

نرسم سهمًا صغيرًا ينطلق من ((1،0) ) بميل -2. يوجد أدناه رسم بياني تم إنشاؤه بواسطة الكمبيوتر. نسمي المستوى xy و طائرة المرحلة للمعادلة التفاضلية والمؤامرة صورة المرحلة.

لاحظ أن كل الحلول مستبعدة من الأصل. الأصل يسمى نقطة توازن غير مستقرة.

مهمتنا التالية هي إيجاد حل واضح للنظام. نكتب النظام باسم

[ textbf {x} '= A textbf {x} nonumber ]

أين

[A = begin {pmatrix} 1 & 1 -2 & 4 end {pmatrix}. لا يوجد رقم ]

تمامًا كما هو الحال مع المعادلات التفاضلية ذات الرتبة الأعلى ، نفترض أن الحل في الصورة

[ textbf {x} = textbf {z} e ^ {rt} nonumber ]

أين x هو حل متجه و ض هو متجه ثابت. لدينا

[ textbf {x} '= r textbf {z} e ^ {rt} nonumber ]

لهذا السبب

[r textbf {z} e ^ {rt} = A textbf {z} e ^ {rt}. لا يوجد رقم ]

يمكننا القسمة على (e ^ {rt} ) للحصول على

[A textbf {z} = r textbf {z}. nonumber ]

إيجاد حل يعادل إيجاد قيمة ذاتية للمصفوفة. يمكننا استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد قيم eigenvalues

[r = 2 ؛ ؛ ؛ نص {and} ؛ ؛ ؛ r = 3. nonumber ]

لإيجاد الثوابت ، يمكننا التعويض بقيم eigenvalues ​​بها

[أ - ري. لا يوجد رقم ]

توصيل (r = 2 ) يعطي

[A-2I = begin {pmatrix} -1 & -1 -2 & 2 end {pmatrix}. لا يوجد رقم ]

الصف الأول يخبرنا بذلك

[-x + y = 0 بلا رقم ]

و eigenvector هو

[z_2 = start {pmatrix} 1 1 end {pmatrix}. لا يوجد رقم ]

توصيل (r = 3 ) يعطي

[A-3I = begin {pmatrix} -2 & 1 -2 & 1 end {pmatrix}. لا يوجد رقم ]

الصف الأول يخبرنا بذلك

[- 2x + y = 0 nonumber ]

و eigenvector هو

[z_3 = begin {pmatrix} 1 2 end {pmatrix}. لا يوجد رقم ]

يمكننا أن نستنتج أن الحل العام هو

[ start {pmatrix} x y end {pmatrix} = c_1 begin {pmatrix} 1 1 end {pmatrix} e ^ {2t} + c_2 begin {pmatrix} 1 2 end {pmatrix} e ^ {3t} nonumber ]

أو ذاك

[x = c_1e ^ {2t} + c_2e ^ {3t} nonumber ]

[y = c_1e ^ {2t} + 2c_2e ^ {3t}. لا يوجد رقم ]

هناك علاقة اتجاه بين نوع العقدة التي يوجد بها الأصل والقيم الذاتية للمصفوفة. في المثال أعلاه ، تكون قيم eigenvalues ​​موجبة ، وبالتالي يتم طرد كل من x و y من الأصل عندما يصبح (t ) كبيرًا. على وجه الخصوص إذا كانت أي من القيم الذاتية موجبة ، فإن المسارات تتنافر من الأصل. إذا كانت قيم eigenvalues ​​سالبة ، فإن كلا من (x ) و (y ) يقتربان من الصفر عندما يقترب (t ) من الصفر. ومن ثم ، تنتقل جميع المسارات نحو الأصل بالنسبة (t ).

ستتم دراسة الحالات التي تكون فيها قيم eigenvalues ​​معقدة في المناقشة التالية.


المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى هي متجانس متى يمكن أن يكون بهذا الشكل:

دى dx = F ( ذ x )

يمكننا حلها باستخدام فصل المتغيرات ولكن أولاً نقوم بإنشاء متغير جديد ت = ذ x

استخدام ص = vx و دى dx = v + x دي في dx يمكننا حل المعادلة التفاضلية.

مثال سيوضح كيف يتم كل شيء:

مثال: حل دى dx = س 2 + ص 2 س ص

هل يمكننا الحصول عليها في F ( ذ x ) نمط؟

نعم ، لدينا وظيفة ذx .

الآن استبدل مرة أخرى v = ذ x

الجزء الإيجابي يبدو كالتالي:

مثال: حل دى dx = ص (س − ص) × 2

هل يمكننا الحصول عليها في F ( ذ x ) نمط؟

الآن استبدل مرة أخرى v = ذ x

فيما يلي بعض قيم عينة k:

مثال: حل دى dx = س − ص س + ص

هل يمكننا الحصول عليها في F ( ذ x ) نمط؟

الآن استبدل مرة أخرى v = ذ x

نحن تقريبا هناك. من الجيد أن تفصل بين y رغم ذلك!
يمكننا محاولة تحليل x 2 −2xy − y 2 لكن يجب إعادة الترتيب أولاً:


نظرًا لأن معاملات المعادلة التفاضلية ومعادلتها المميزة حقيقية ، فإن أي معقد جذر يظهر في زوج مترافق معقد a ± b i ، a pm bi ، a ± b i ، حيث a a و b b b حقيقي و i = - 1. الجذر التربيعي <-1>. - 1

ما هو الحل العام للمعادلة التفاضلية y ′ ′ - 4 y ′ + 13 y = 0 y & # x27 & # x27-4y & # x27 + 13y = 0 y ′ ′ - 4 y ′ + 1 3 y = 0؟

عندما تكون هناك جذور معقدة متكررة ، يمكن حسابها بنفس الطريقة كما هو الحال مع الجذور الحقيقية المتكررة.


5.2: أنظمة متجانسة من المعادلات التفاضلية

حل نظامًا من عدة معادلات تفاضلية عادية في عدة متغيرات باستخدام وظيفة dsolve ، مع أو بدون شروط أولية. لحل معادلة تفاضلية واحدة ، راجع حل المعادلة التفاضلية.

حل نظام المعادلات التفاضلية

حل هذا النظام من المعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى.

د u د t = 3 u + 4 ف ، د v د t = - 4 ش + 3 ف.

أولا ، تمثيل ش و الخامس باستخدام الرموز لإنشاء الدوال الرمزية u (t) و v (t).

حدد المعادلات باستخدام == وقم بتمثيل التفاضل باستخدام دالة الفرق.

قم بحل النظام باستخدام دالة dsolve التي ترجع الحلول كعناصر هيكل.

إذا لم يستطع dsolve حل المعادلة ، فحاول حل المعادلة عدديًا. راجع حل معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية عدديًا.

للوصول إلى u (t) و v (t) ، قم بفهرسة البنية S.

بدلاً من ذلك ، قم بتخزين u (t) و v (t) مباشرةً من خلال توفير وسيطات إخراج متعددة.

تظهر الثوابت C1 و C2 بسبب عدم تحديد شروط. حل النظام بالشروط الأولية u (0) == 0 و v (0) == 0. تبحث الدالة dsolve عن قيم الثوابت التي تفي بهذه الشروط.

تصور الحل باستخدام fplot.

حل المعادلات التفاضلية في صيغة مصفوفة

حل المعادلات التفاضلية بصيغة مصفوفة باستخدام dsolve.

ضع في اعتبارك نظام المعادلات التفاضلية هذا.

د x د t = س + 2 ص + 1 ، د y د t = - س + ص + تي.

شكل مصفوفة النظام هو

[x 'y'] = [1 2 - 1 1] [x y] + [1 t].

ص = [س ص] ، أ = [1 2 - 1 1] ، ب = [1 ر].

حدد هذه المصفوفات ومعادلة المصفوفة.

حل معادلة المصفوفة باستخدام dsolve. بسّط الحل باستخدام دالة التبسيط.

تظهر الثوابت C1 و C2 بسبب عدم تحديد شروط.

حل النظام بالشروط الأولية ش(0) = 2 و الخامس(0) = & # 82111. عند تحديد المعادلات في شكل مصفوفة ، يجب عليك تحديد الشروط الأولية في شكل مصفوفة أيضًا. يجد dsolve قيمًا للثوابت التي تفي بهذه الشروط.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب عليك أولاً الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورز ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


ج: ملاحظة: نظرًا لأنك طرحت عدة أسئلة ، فسنقوم بحل السؤال الأول لك. إن أردت .

س: هل يمكنك حل هذا السؤال بسرعة من فضلك

ج: انقر لرؤية الجواب

س: أوجد أبعاد أكبر مخروط دائري قائم يمكن كتابته في كرة نصف قطرها 1.

ج: لتحديد أبعاد المخروط الدائري الأيمن المدرج في مجال نصف القطر r ، التنوب.

س: ابحث عن حل عام للمعادلة التفاضلية. أدخل مصطلحات عابرة إن وجدت. x ^ 2y & # x27 + xy = 7

ج: هنا سوف نجد الحل العام المطلوب لمعادلة تفاضلية معينة.

س: ترتيب العنصر 16+ في Z24 / ليس من بين الاختيارات 1 4 8.

ج: ترتيب العنصر a في المجموعة G هو عدد العناصر في المجموعة الفرعية الدورية لـ G. أيضًا.

س: أظهر أن الحل الضمني لـ 2x sin؟ (y) dx - (x2 + 17) cos (y) dy = 0 معطى بواسطة In (x؟ + 17) +.

ج: انقر لرؤية الجواب

س: دع G = Z24 و N =. إذن ، | Z24 / [ليس أيًا من الخيارات 3 24 9.

ج: انقر لرؤية الجواب

س: دع G = U (15) و N = U3 (15) واجعل Ur (n) = . مجموعة العوامل G / N.

ج: انقر لرؤية الجواب

س: دع (x، y) و (z، w) نقطتان في R؟ أذكر أيًا مما يلي لا يحدد المقياس على R؟ .


إيه. فومين ، "جبر التماثل التفاضلي للمعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة ،" روس. J. الرياضيات. فيز. 5(2), 189–210 (1997).

دبليو [في] آي فوشيتش وأيه جي نيكيتين ، تماثلات معادلات ميكانيكا الكم (نوكا ، موسكو ، 1990 أليرتون برس ، إنك ، نيويورك ، 1994).

أ. باروت و ر. راتشكا ، نظرية التمثيل الجماعي والتطبيقات (PWN - دار النشر العلمي البولندية ، وارسو ، 1977 مير ، موسكو ، 1980).

أ.مالكين وف. مانكو ، التناظر الديناميكي والحالات المتماسكة للأنظمة الكمية (نووكا ، موسكو ، 1990) [بالروسية].

D. P. Zhelobenko ، تمثيلات الاختزال الكذبة الجبر (فيزماتليت ، موسكو ، 1994).

زيلوبينكو ، "Transvector Algebras in Representation Theory and Dynamic Symmetry" ، في: مجموعة الطرق النظرية في الفيزياء ، المجلد. الثانية (يورمالا ، 1985) (VNU Sci. Press، Utrecht، 1986) pp.71–93.

إ. س. كراسيلشيك [كراسيلشيك] ، في في. ليتشاجين ، وأ. إم فينوغرادوف ، مقدمة في هندسة المعادلات التفاضلية اللاخطية (نوكا ، موسكو ، 1986) [هندسة الفراغات النفاثة والمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية، Gordon & amp Breach Science Publishers ، New York ، 1986].

A. V. Bocharov ، V.N Chetverikov ، S.V Duzhin ، N.G Khorkova ، I. S. Krasil’shchik ، A.V Samokhin ، Yu. N. Torkhov ، و A.M Verbovetsky [Verbovetskii] ، و A.M Vinogradov ، التماثلات وقوانين الحفظ للمعادلات التفاضلية للفيزياء الرياضيةترجمة. رياضيات. Monogr.، 182 (Faktorial، Moscow، 1997، American Mathematical Society، Providence، RI، 1999).

L.V Ovsyannikov ، تحليل مجموعة المعادلات التفاضلية (نوكا ، موسكو ، 1978 Academic Press ، New York a.o. ، 1982).

N. خ. إبراغيموف ، مجموعات التحول في الفيزياء الرياضية (نووكا ، موسكو ، 1983) [مجموعات التحول المطبقة على الفيزياء الرياضية (شركة د. ريدل للنشر ، دوردريخت - بوسطن ، ماساتشوستس ، 1985)].

P. J. Olver ، تطبيقات مجموعات الكذب على المعادلات التفاضلية (مير ، موسكو ، 1989 جامعة أكسفورد ، معهد الرياضيات ، أكسفورد ، 1980).

يو. I. Manin ، "الجوانب الجبرية للمعادلات التفاضلية غير الخطية ،" المشكلات الحالية في الرياضيات ، المجلد. 11 ، ايتوجي ناوكي تك. سر. سوفريم. بروبل. حصيرة. 11 (Akad. Nauk SSSR Vsesojuz. Inst. Naucn. Tekhn. Informacii، Moscow، 1978)، pp.5–152 [J. الرياضيات السوفيتية. 11 (1), 1–122 (1979)].

إس ماكلين ، تنادد، طبع الطبعة الأولى. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften، Band 114 (Springer-Verlag، Berlin-New York، 1967 Mir، Moscow، 1976).

N.N. Bogoliubov [Bogolyubov] و D.V. Shirkov ، الحقول الكمومية (نوكا ، موسكو ، 1993 الترجمة الإنجليزية للطبعة الأولى: شركة بنيامين / كامينغز للنشر ، برنامج الكتاب المتقدم ، ريدينغ ، ماجستير ، 1983).

أ. ن. تيخونوف وأ. أ. سامارسكي ، معادلات الفيزياء الرياضية (الطبعة الرابعة. Nauka ، موسكو ، 1972 ، الترجمة الإنجليزية. الطبعة الثالثة: Dover Publications ، Inc. ، New York ، 1990).

في س. فلاديميروف ، معادلات الفيزياء الرياضية، الرياضيات البحتة والتطبيقية ، 3 (الطبعة الثالثة نوكا ، موسكو ، 1976 ترجمة إنجليزية للطبعة الثانية: مارسيل ديكر ، نيويورك ، 1971).

هورماندر ، مقدمة للتحليل المركب في عدة متغيرات، الطبعة الثانية المنقحة ، مكتبة شمال هولندا الرياضية ، المجلد. 7 (شركة نورث هولاند للنشر ، أمستردام - لندن الأمريكية Elsevier Publishing Co.، Inc. ، نيويورك ، 1973 الترجمة الروسية للطبعة الأولى: مير ، موسكو ، 1968).


18.031x مقدمة في المعادلات التفاضلية (المعادلات العددية)

¿Te interesa este curso para tu negocio o equipo؟

Capacita a tus empleados en los temas más solicitados con edX para Negocios.

Sobre este curso

المعادلات التفاضلية هي لغة النماذج التي نستخدمها لوصف العالم من حولنا. لا تتطلب معظم الظواهر معادلة تفاضلية واحدة ، بل تتطلب نظامًا من المعادلات التفاضلية المزدوجة. في هذه الدورة ، سنقوم بتطوير مجموعة الأدوات الرياضية اللازمة لفهم أنظمة 2x2 للمعادلات التفاضلية الخطية وغير الخطية من الدرجة الأولى. سوف نستخدم أنظمة ومصفوفات 2x2 لنمذجة:

  • مجموعات مفترسة فريسة في نظام بيئي ،
  • المنافسة على السياحة بين دولتين ،
  • ملف درجة حرارة بيضة مسلوقة ،
  • تعليق السيارات لقيادة سلسة ،
  • البندولات و
  • دارات RLC التي تضبط ترددات معينة.

يتم تقديم الوحدات الخمس في هذه السلسلة باعتبارها XSeries على edX. يرجى زيارة صفحة برنامج المعادلات التفاضلية XSeries لمعرفة المزيد والتسجيل في الوحدات.

  • صورة الذئب بواسطة Arne von Brill على Flickr (CC BY 2.0)
  • صورة الأرنب بواسطة Marit & amp Toomas Hinnosaar على Flickr (CC BY 2.0)

معلومات عن Más información sobre este curso

Lo que aprenderás

  • كيفية نمذجة مشاكل العالم الحقيقي بأنظمة 2x2 من المعادلات التفاضلية
  • كيفية استخدام طرق المصفوفة لحل أنظمة متجانسة من معادلتين تفاضليتين خطيتين من الدرجة الأولى
  • كيفية استخدام الأساليب الرسومية لفهم السلوك النوعي للأنظمة الخطية وغير الخطية ، وكيفية تطبيق التقريب الخطي على الأنظمة غير الخطية (المستقلة) 2x2

Ampliar lo que aprenderás

Plan de estudios

الوحدة 1: الأنظمة الخطية 2x2
1. مقدمة في أنظمة المعادلات التفاضلية
2. حل الأنظمة الخطية المتجانسة 2x2 من المعادلات التفاضلية
3. قيم eigenvalues ​​المعقدة ، صور المرحلة ، والطاقة
4. مستوى محدد التتبع والاستقرار

الوحدة 2: الأنظمة غير الخطية 2x2

5. التقريب الخطي للأنظمة المستقلة
6. استقرار الأنظمة المستقلة
7. البندول اللاخطي


5.2: أنظمة متجانسة من المعادلات التفاضلية

استخدم الحذف الغاوسي لحل نظام المعادلات المتجانس التالي.

الحل: من خلال التحويلات الأولية ، يمكن اختزال مصفوفة المعامل إلى شكل مستوى الصف

رتبة هذه المصفوفة تساوي 3 ، وبالتالي فإن النظام الذي يحتوي على أربعة مجاهيل لديه عدد لا نهائي من الحلول ، اعتمادًا على متغير واحد حر. إذا اخترنا x 4 كمتغير مجاني وقمنا بتعيين x 4 = c ، فيجب التعبير عن المجهول الأولي من خلال المعلمة c. المصفوفة أعلاه تتوافق مع النظام المتجانس التالي

المعادلة الأخيرة تعني

باستخدام طريقة الاستبدال الخلفي التي نحصل عليها

لذلك ، يتم إعطاء الحل العام للنظام المحدد بالصيغة التالية:

للحصول على حل معين × 1 ، يتعين علينا تعيين بعض القيمة للمعامل ج. إذا كان c = 4 ثم

التحقق من الحل: أظهر أن مجموعة قيم المجهول

يختزل كل معادلات النظام الخطي المحدد إلى هويات:

يترك . أوجد حل النظام المتجانس للمعادلات الخطية

الحل: قم بتحويل مصفوفة المعامل إلى شكل مستوى الصف:

منذ ذلك الحين ، علينا أن نعتبر مجهولين على أنهما مجهولان رئيسيان وأن نخصص قيمًا بارامترية للمجهول الآخر. تحديد x 2 = c 1 و x 3 = c 2 نحصل على النظام الخطي المتجانس التالي:

وبالتالي ، فإن النظام المعطى لديه الحل العام التالي:

في ضوء خصائص المصفوفة ، يمكن أيضًا التعبير عن الحل العام على أنه مزيج خطي من حلول معينة:

تشكل النظام الأساسي للحلول.

يترك . حل النظام المتجانس التالي من المعادلات الخطية

اشرح سبب عدم وجود حلول ، أو وجود عدد غير محدود من الحلول ، أو حل واحد بالضبط.

الحل: لاحظ أن أي نظام متجانس يكون متسقًا ولديه على الأقل الحل البسيط.

قم بتحويل مصفوفة المعامل إلى الشكل المثلث أو الصف.

رتبة A تساوي 3. لذلك ، لا توجد متغيرات حرة والنظام


شاهد الفيديو: المشتقة تحليليا (شهر نوفمبر 2021).