مقالات

5.4: المنتجات الديكارتية - الرياضيات


PREVIEW ACTIVITY ( PageIndex {1} ): معادلة ذات متغيرين

في القسم 2.3 ، قدمنا ​​مفهوم مجموعة الحقيقة لجملة مفتوحة مع متغير واحد. تم تعريف هذا على أنه مجموعة من جميع العناصر في المجموعة الشاملة التي يمكن استبدالها بالمتغير لجعل الجملة المفتوحة عبارة صحيحة.

في دورات الرياضيات السابقة ، لدينا أيضًا خبرة في الجمل المفتوحة بمتغيرين. على سبيل المثال ، إذا افترضنا أن x و y يمثلان أرقامًا حقيقية ، فإن المعادلة

(2 س + 3 ص = 12 )

هي جملة مفتوحة بمتغيرين. عنصر من مجموعة الحقيقة لهذه الجملة المفتوحة (يسمى أيضًا حل المعادلة) هو زوج مرتب ( (أ ) ، (ب )) من الأرقام الحقيقية بحيث عندما يتم استبدال (أ ) بـ (x ) و (b ) تم استبداله بـ (y ) ، تصبح الجملة المفتوحة عبارة صحيحة (معادلة صحيحة في هذه الحالة). على سبيل المثال ، نرى أن الزوج المرتب (6 ، 0) في الحقيقة المحددة لهذه الجملة المفتوحة منذ ذلك الحين

(2 cdot 6 + 3 = 12 )

هو بيان صحيح. من ناحية أخرى ، فإن الزوج المرتب (4 ، 1) ليس في الحقيقة المحددة لهذه الجملة المفتوحة منذ ذلك الحين

(2 cdot 4 + 3 cdot 1 = 12 )

بيان كاذب.

ملاحظة مهمة: ترتيب العددين في الزوج المرتب مهم جدًا. نحن نستخدم الاصطلاح القائل بأن الرقم الأول يجب استبداله بـ (x ) والرقم الثاني يجب استبداله بـ (y ). مع هذا الاصطلاح ، (3 ، 2) هو حل للمعادلة (2x + 3y = 12 ) ، لكن (2 ، 3) ليس حلاً لهذه المعادلة.

  1. ضع ستة عناصر مختلفة لمجموعة الحقيقة (تسمى غالبًا مجموعة الحلول) للجملة المفتوحة بمتغيرين (2x + 3y = 12 ).
  2. من دورات الرياضيات السابقة ، نعلم أن الرسم البياني للمعادلة (2x + 3y = 12 ) هو خط مستقيم. ارسم الرسم البياني للمعادلة (2x + 3y = 12 ) في (xy ) - مستوى الإحداثيات. ماذا يوضح الرسم البياني للمعادلة (2 س + 3 ص = 12 )؟
  3. اكتب وصفًا لمجموعة الحلول ​​(S ) للمعادلة (2x + 3y = 12 ) باستخدام تدوين منشئ المجموعة.

نشاط المعاينة ( PageIndex {1} ): المنتج الديكارتي لمجموعتين

في نشاط المعاينة ( PageIndex {1} ) ، عملنا مع الأزواج المرتبة دون تقديم تعريف رسمي للزوج المرتب. بدلاً من ذلك ، اعتمدنا على عملك السابق مع الأزواج المرتبة ، بشكل أساسي من رسم المعادلات ذات المتغيرين. فيما يلي تعريف رسمي للزوج المرتب.

التعريف: زوج مرتب

لنفترض أن (A ) و (B ) يكونان. ان زوج مرتب (مع العنصر الأول من (A ) والعنصر الثاني من (B )) هو زوج واحد من الكائنات ، يُشار إليه بالرمز ( (أ ) ، (ب )) ، مع (أ في أ ) و (ب في ب ) وأمر ضمني. هذا يعني أنه لكي يتساوى زوجان مرتبان ، يجب أن يحتويا على نفس العناصر بالضبط بنفس الترتيب. هذا هو ، إذا (أ ، ج في أ ) و (ب ، د في ب ) ، إذن

( (أ ) ، (ب )) = ( (ج ) ، (د )) فقط إذا وفقط إذا (أ = ج ) و (ب = د ).

تسمى الكائنات الموجودة في الزوج المرتب بـ إحداثيات للزوج المرتب. في الزوج المرتب ( (أ ) ، (ب )) ، (أ ) هو أول تنسيق و (ب ) هو الإحداثيات الثانية.

سنقدم الآن عملية مجموعة جديدة توفر طريقة لدمج العناصر من مجموعتين معطاة لتكوين أزواج مرتبة. الفكرة الأساسية هي أننا سننشئ مجموعة من الأزواج المرتبة.

التعريف: منتج ديكارتي

إذا تم تعيين (A ) و (B ) ، فإن ملف المنتج الديكارتي, (A times B ) ، (A ) و (B ) هي مجموعة كل الأزواج المرتبة ( (x ) ، (y )) حيث (x in A ) و (ص في ب ). نستخدم الترميز (A times B ) للمنتج الديكارتي لـ (A ) و (B ) ، وباستخدام تدوين منشئ المجموعة ، يمكننا الكتابة

(A times B = {(x، y) | x in A text {and} y in B } ).

كثيرًا ما نقرأ (A times B ) كـ " (A ) عبر (B )." في حالة تماثل المجموعتين ، سنكتب (A ^ 2 ) من أجل (A times A ). هذا هو،

(A ^ 2 = A times A = {(a، b) | a in A text {and} b in A } ).

دع (A = ) {1، 2، 3} و (B = ) { (a )، (b )}.

  1. هل الزوج المرتب (3 ، (أ )) في المنتج الديكارتي (أ مرات ب )؟ يشرح.
  2. هل الزوج المرتب (3 ، (أ )) في المنتج الديكارتي (أ مرات أ )؟ يشرح.
  3. هل الزوج المرتب (3 ، 1) في المنتج الديكارتي (أ مرات أ )؟ يشرح.
  4. استخدام طريقة القائمة لتحديد جميع عناصر (أ مرات ب ). (تذكر أن عناصر (أ مرات ب ) سيتم ترتيبها في أزواج.
  5. استخدم طريقة القائمة لتحديد جميع عناصر المجموعة (أ مرات أ = أ ^ 2 ).
  6. لأي مجموعات (C ) و (D ) ، اشرح بعناية ما يعنيه القول بأن الزوج المرتب ( (س ) ، (ص )) ليس في المنتج الديكارتي (ج مرات) د).

المنتجات الديكارتية

عند العمل مع المنتجات الديكارتية ، من المهم أن تتذكر أن المنتج الديكارتي لمجموعتين هو في حد ذاته مجموعة. في هذه الحالة ، تكون عناصر المنتج الديكارتي أزواجًا مرتبة. يجب أن نفكر في الزوج المرتب ككائن واحد يتكون من كائنين آخرين بترتيب محدد. فمثلا،

  • إذا كان (a ne 1 ) ، فإن الزوج المرتب (1 ، (أ )) لا يساوي الزوج المرتب ( (أ ) ، 1). هذا هو ، (1 ، (أ )) ( ني ) ( (أ ) ، 1).
  • إذا كان (A = ) {1 ، 2 ، 3} و (B = ) { (a ) ، (b )} ، فإن الزوج المرتب (3 ، (a )) هو عنصر من عناصر المجموعة (أ مرات ب ). أي (3 ، (أ)) ( في أ مرات ب ).
  • إذا كان (A = ) {1 ، 2 ، 3} و (B = ) { (a ) ، (b )} ، فإن الزوج المرتب (5 ، (a )) ليس عنصرًا في المجموعة (A times B ) منذ (5 notin A ). أي ((5 ، أ) ليس في أ مرات ب ).

في القسم 5.3 ، درسنا خصائص معينة لاتحاد المجموعة ، وتقاطع المجموعة ، وتعيين المكملات ، والتي أطلقنا عليها اسم جبر المجموعات. سنبدأ الآن شيئًا مشابهًا للمنتجات الديكارتية. نبدأ بفحص بعض الأمثلة المحددة في فحص التقدم 5.23 وبعد ذلك بقليل في فحص التقدم 5.24.

فحص التقدم 5.23 (العلاقات بين المنتجات الديكارتية)

دع (A = ) {1، 2، 3}، (T = ) {a، b}، و (C = ) {a، c}. يمكننا بعد ذلك تشكيل مجموعات جديدة من جميع العمليات المحددة التي درسناها. على سبيل المثال ، (B cap C = ) { (a )} ، وهكذا

(أ مرات (ب غطاء ج) = {(1 ، أ) ، (2 ، أ) ، (3 ، أ) }. )

  1. استخدم طريقة القائمة لسرد جميع العناصر (الأزواج المرتبة) في كل مجموعة من المجموعات التالية:

    (أ) (أ مرات ب )
    (ب) (T مرات ب )
    (ج) (أ مرات ج )
    (د) (أ مرات (ب غطاء ج) )
    (هـ) ((أ مرات ب) غطاء (أ مرات ج) )
    (و) (أ مرات (ب كوب ج) )
    (ز) ((أ مرات ب) كوب (أ مرات ج) )
    (ح) (أ مرات (ب - ج) )
    (i) ((A times B) - (A times C) )
    (ي) (ب مرات أ )

  2. ضع قائمة بجميع العلاقات بين المجموعات في الجزء (1) التي تلاحظها.
إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

الطائرة الديكارتية

في نشاط المعاينة ( PageIndex {1} ) ، رسمنا الرسم البياني للمعادلة (2x + 3y = 12 ) في (xy ) - الطائرة. هذا (xy ) - المستوى المألوف لك هو تمثيل للمجموعة ( mathbb {R} times mathbb {R} ) أو ( mathbb {R} ^ 2 ). هذه الطائرة تسمى فكرة مبدعة.

الفكرة الأساسية هي أن كل زوج مرتب من الأرقام الحقيقية يتوافق مع نقطة في المستوى ، وكل نقطة في المستوى تقابل زوجًا مرتبًا من الأرقام الحقيقية. هذا التمثيل الهندسي لـ ( mathbb {R} ^ 2 ) هو امتداد للتمثيل الهندسي لـ ( mathbb {R} ) كخط مستقيم تقابل نقاطه أرقامًا حقيقية.

بما أن المنتج الديكارتي ( mathbb {R} ^ 2 ) يتوافق مع المستوى الديكارتي ، فإن المنتج الديكارتي لمجموعتين فرعيتين من ( mathbb {R} ) يتوافق مع مجموعة فرعية من المستوى الديكارتي. على سبيل المثال ، إذا كان (A ) هو الفاصل الزمني [1 ، 3] ، و (B ) هو الفاصل الزمني [2 ، 5] ، إذن

(A times B = {(x، y) in mathbb {R} ^ 2 | 1 le x le 3 text {and} 2 le y le 5 }. )

يمكن بعد ذلك رسم رسم بياني للمجموعة (A times B ) في المستوى الديكارتي كما هو موضح في الشكل 5.6.

يوضح هذا أن الرسم البياني لمنتج ديكارتي لفترتين من الطول المحدود في ( mathbb {R} ) يتوافق مع الجزء الداخلي من المستطيل وربما بعض حدوده أو كلها. يشير الخط الصلب للحدود في الشكل 5.6 إلى تضمين الحدود. في هذه الحالة ، احتوى المنتج الديكارتي على كل حدود المستطيل. عندما لا يحتوي الرسم البياني على جزء من الحدود ، فإننا نرسم عادةً هذا الجزء من الحدود بخط منقط.

ملاحظة: تحذير بشأن التدوين. التدوين القياسي لفاصل زمني مفتوح في ( mathbb {R} ) هو نفسه تدوين الزوج المرتب ، وهو عنصر ( mathbb {R} times mathbb {R} ). نحتاج إلى استخدام السياق الذي يتم فيه استخدام الترميز لتحديد التفسير المقصود. فمثلا،

  • إذا كتبنا ( (sqrt 2 )، 7) ( in mathbb {R} times mathbb {R} ) ، فإننا نستخدم ( (sqrt 2 ) ، 7) لتمثيل أمر مرتب زوج من الأعداد الحقيقية.
  • إذا كتبنا (1، 2) ( times ) {4}، فإننا نفسر (1، 2) كفاصل مفتوح. يمكننا الكتابة

(1، 2) ( times ) {4} = {( (x )، 4) | 1 < (س ) <2}.

يستكشف فحص التقدم التالي بعض الأفكار نفسها التي تم استكشافها في فحص التقدم 5.23 فيما عدا أنه يتم استخدام فترات من الأرقام الحقيقية للمجموعات.

فحص التقدم 5.24: المنتجات الديكارتية للفترات الزمنية

سنستخدم الفواصل الزمنية التالية التي هي مجموعات فرعية من ( mathbb {R} ).

(A = ) [0، 2] (T = ) (1، 2) (B = ) [2، 4) (C = ) (3، 5]

  1. ارسم رسمًا بيانيًا لكل مجموعة من المجموعات الفرعية التالية من المستوى الديكارتي واكتب كل مجموعة فرعية باستخدام تدوين منشئ المجموعة.

    (أ) (أ مرات ب )
    (ب) (T مرات ب )
    (ج) (أ مرات ج )
    (د) (أ مرات (ب غطاء ج) )
    (هـ) ((أ مرات ب) غطاء (أ مرات ج) )
    (و) (أ مرات (ب كوب ج) )
    (ز) ((أ مرات ب) كوب (أ مرات ج) )
    (ح) (أ مرات (ب - ج) )
    (i) ((A times B) - (A times C) )
    (ي) (ب مرات أ )

  2. ضع قائمة بجميع العلاقات بين المجموعات في الجزء (1) التي تلاحظها.
إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.

كان أحد أغراض العمل في تدقيق التقدم 5.23 و 5.24 هو الإشارة إلى معقولية العديد من النتائج الواردة في النظرية التالية.

نظرية 5.25.1

دعونا (أ ) ، (ب ). و (ج ) يكونان مجموعات. ثم

  1. (أ مرات (ب غطاء ج) = (أ مرات ب) غطاء (أ مرات ج) )
  2. (أ مرات (ب كوب ج) = (أ مرات ب) كوب (أ مرات ج) )
  3. ((أ غطاء ب) مرات ج = (أ مرات ج) غطاء (ب مرات ج) )
  4. ((أ كوب ب) مرات ج = (أ مرات ج) كوب (ب مرات ج) )
  5. (أ مرات (ب - ج) = (أ مرات ب) - (أ مرات ج) )
  6. ((أ - ب) مرات ج = (أ مرات ج) - (ب مرات ج) )
  7. إذا (T subseteq A ) ، ثم (T times B subseteq A times B ).
  8. إذا (T subseteq B ) ، ثم (A times Y subseteq A times B ).

لن نثبت كل هذه النتائج. بدلاً من ذلك ، سنثبت الجزء (2) من النظرية 5.25 ونترك بعضًا من الباقي للتدريبات. عند بناء هذه البراهين ، نحتاج إلى أن نضع في اعتبارنا أن المنتجات الديكارتية هي مجموعات ، ولذا فإننا نتبع العديد من نفس المبادئ لإثبات العلاقات المحددة التي تم تقديمها في القسمين 5.2 و 5.3.

الشيء الآخر الذي يجب تذكره هو أن عناصر المنتج الديكارتي هي أزواج مرتبة. لذلك عندما نبدأ إثبات نتيجة مثل الجزء (2) من النظرية 5.25 ، فإن الهدف الأساسي هو إثبات أن المجموعتين متساويتان. سنفعل ذلك بإثبات أن كل واحدة هي مجموعة فرعية من الأخرى. لذلك إذا أردنا إثبات أن (أ مرات (ب كوب ج) مجموعة فرعية (أ مرات ب) كوب (أ مرات ج) ) ، يمكننا البدء باختيار عنصر تعسفي من (أ ) مرات (ب كوب ج) ). الهدف إذن هو إظهار أن هذا العنصر يجب أن يكون في ((A times B) cup (A times C) ). عندما نبدأ باختيار عنصر عشوائي من (A times (B cup C) ) ، يمكننا إعطاء هذا العنصر اسمًا. على سبيل المثال ، يمكننا أن نبدأ بالسماح

[u text {يكون عنصرًا من} A times (B cup C). ]

يمكننا بعد ذلك استخدام تعريف "الزوج المرتب" لاستنتاج ذلك

[ نص {يوجد} س في أ نص {وهناك مخارج} ص في ب كوب ج نص {مثل هذا} ش = (س ، ص). ]

لإثبات أن (A times (B cup C) subseteq (A times B) cup (A times C) ) ، يجب أن نظهر الآن أن الزوج المرتب (u ) من ( 5.4.1) في (أ مرات (ب كوب ج) مجموعة فرعية (أ مرات ب) كوب (أ مرات ج) ). للقيام بذلك ، يمكننا استخدام تعريف اتحاد المجموعة وإثبات ذلك

[u in (A times B) text {or} u in (A times C). ]

بما أن (u = (x، y) ) يمكننا إثبات (5.4.3) بإثبات ذلك

[(x in A text {and} y in B) text {or} (x in A text {and} y in C). ]

إذا نظرنا إلى الجمل في (5.4.2) و (5.4.4) ، فيبدو أننا قريبون جدًا من إثبات أن (أ مرات (ب كوب ج) مجموعة فرعية (أ مرات ب) كوب (أ مرات ج) ). فيما يلي دليل على الجزء (2) من النظرية 5.25.

نظرية 5.25 (جزء (2)).

دعونا (أ ) ، (ب ). ثم

(أ مرات (ب كوب ج) = (أ مرات ب) كوب (أ مرات ج) )

دليل - إثبات

دعونا (أ ) ، (ب ). سنثبت أن (أ مرات (ب كوب ج) ) يساوي ((أ مرات ب) كوب (أ مرات ج) ) بإثبات أن كل مجموعة هي مجموعة فرعية من المجموعة الأخرى .

لإثبات ذلك (أ مرات (ب كوب ج) مجموعة فرعية (أ مرات ب) كوب (أ مرات ج) ) ، نسمح (ش في أ مرات (ب كوب ج) ). ثم يوجد (س في أ ) ويوجد (ص في ب كوب ج ) مثل هذا (ش = (س ، ص) ). منذ (y in B cup C ) ، نعلم أن (y in B ) أو (y in C ).

في الحالة التي يكون فيها (y in B ) ، لدينا (u = (x، y) ) ، حيث (x in A ) و (y in B ). لذلك في هذه الحالة ، (u in A times B ) ، وبالتالي (u in (A times B) cup (A times C) ). وبالمثل ، في الحالة التي يكون فيها (y in C ) ، لدينا (u = (x ، y) ) ، حيث (x in A ) و (y in C ). لذلك في هذه الحالة ، (u in A times C ) ، وبالتالي ، (u in (A times B) cup (A times C) ).

في كلتا الحالتين ، (u in (A times B) cup (A times C) ). ومن ثم ، قد نستنتج أنه إذا كان (u ) عنصرًا من (أ مرات (ب كوب ج) ) ، إذن (ش في (أ مرات ب) كوب (أ مرات ج) ) وهذا يثبت ذلك

[أ مرات (ب كوب ج) مجموعة فرعية (أ مرات ب) كوب (أ مرات ج). ]

يجب أن نثبت الآن أن ((أ مرات ب) كوب (أ مرات ج) مجموعة فرعية أ مرات (ب كوب ج) ). لذلك دعونا (v in (A times B) cup (A times C) ). ثم (v in (A times B) ) أو (v in (A times C) ).

في الحالة التي يكون فيها (v in (A times B) ) ، نعلم أن هناك (s in A ) ويوجد (t in B ) بحيث (v = (s) ، ر) ). لكن بسبب (t in C ) ، يمكننا أن نستنتج أن (t in B cup C ) وبالتالي ، (v in A times (B cup C) ).

في كلتا الحالتين ، (v in A times (B cup C) ). ومن ثم ، قد نستنتج أنه إذا (v in (A times B) cup (A times C) ) ، ثم (v in A times (B cup C) ) ، وهذا يثبت الذي - التي

[(أ مرات ب) كوب (أ مرات ج) مجموعة فرعية أ مرات (ب كوب ج). ]

تثبت العلاقات في (5.4.5) و (5.4.6) أن (أ مرات (ب كوب ج) = (أ مرات ب) كوب (أ مرات ج) ).

ملاحظة أخيرة.

قد يبدو تعريف الزوج المرتب في نشاط المعاينة ( فهرس الصفحة {2} ) وكأنه تعريف مطول ، ولكن في بعض مجالات الرياضيات ، هناك حاجة إلى تعريف أكثر رسمية ودقة لـ "الزوج المرتب". تم استكشاف هذا التعريف في التمرين (10).

تمارين للقسم 5.4

  1. دع (A = ) {1 ، 2} ، (B = ) { (a ) ، (b ) ، (c ) ، (d )} ، و (C = ) {1 ، (أ ) ، (ب )}. استخدم طريقة القائمة لسرد جميع عناصر كل مجموعة من المجموعات التالية:

    (أ) (أ مرات ب )
    (ب) (ب مرات أ )
    (ج) (أ مرات ج )
    (د) (أ ^ 2 )
    (هـ) (أ مرات (ب غطاء ج) )
    (و) ((أ مرات ب) غطاء (أ مرات ج) )
    (ز) (أ مرات إفراغ )
    (ح) (ب مرات {2 } )

  2. ارسم رسمًا بيانيًا لكل من المنتجات الديكارتية التالية في المستوى الديكارتي.

    (أ) [0، 2] ( مرات ) [1، 3]
    (ب) (0 ، 2) (مرات ) (1 ، 3]
    (ج) [2، 3] ( مرات ) {1}
    (د) {1} (مرات ) [2، 3]
    (هـ) ( mathbb {R} ) ( مرات ) (2 ، 4)
    (و) (2، 4) ( times ) ( mathbb {R} )
    (ز) ( mathbb {R} ) ( مرات ) {-1}
    (ح) {-1} ( مرات ) [1، + ( infty ))

  3. إثبات نظرية 5.25 ، الجزء (1): (أ مرات (ب غطاء ج) = (أ مرات ب) غطاء (أ مرات ج) ).
  4. إثبات نظرية 5.25 ، الجزء (4): ((أ كوب ب) مرات ج = (أ مرات ج) كوب (ب مرات ج) ).
  5. إثبات نظرية 5.25 ، الجزء (5): (أ مرات (ب - ج) = (أ مرات ب) - (أ مرات ج) ).
  6. إثبات نظرية 5.25 ، الجزء (7): إذا (T مجموعة فرعية أ ) ، ثم (T مرات ب مجموعة فرعية أ مرات ب ).
  7. دع (A = ) {1} و (B = ) {2} و (C = ) {3}.

    (أ) اشرح لماذا (أ مرات ب ني ب مرات أ ).
    (ب) اشرح لماذا (أ مرات ب) مرات ج ني أ مرات (ب مرات ج) ).

  8. لنفترض أن (أ ) و (ب ) مجموعتين غير فارغتين. أثبت أن (A times B = B times A ) إذا وفقط إذا (A = B ).
  9. هل الاقتراح التالي صحيح أم خطأ؟ برر استنتاجك.

    دع (A ) و (B ) و (C ) يتم تعيينها مع (A ne emptyset ). إذا (أ مرات ب = أ مرات ج ) ، ثم (ب = ج ). اشرح مكان افتراض أن (A ne emptyset ) مطلوب.

    الاستكشافات والأنشطة

  10. (تعريف نظري لمجموعة زوج مرتب) في الرياضيات الابتدائية ، يكفي مفهوم الزوج المرتب الذي تم تقديمه في بداية هذا القسم. ومع ذلك ، إذا كنا مهتمين بتطوير رسمي للمنتج الديكارتي لمجموعتين ، فنحن بحاجة إلى تعريف أكثر دقة للزوج المرتب. فيما يلي طريقة واحدة للقيام بذلك من حيث المجموعات. يُنسب هذا التعريف إلى Kazimierz Kuratowski (1896 - 1980). كان كوراتوفسكي عالم رياضيات بولنديًا شهيرًا كان عمله الرئيسي في مجالات الطبولوجيا ونظرية المجموعات. تم تعيينه مديرًا للأكاديمية البولندية للعلوم وشغل هذا المنصب لمدة 19 عامًا.

    دع (x ) عنصرًا في المجموعة (A ) ، واجعل (y ) عنصرًا في المجموعة (ب ). ال زوج مرتب ( (x )، (y )) هي المجموعة ( { {x }، {x، y } } ). هذا هو،
    [(x، y) = { {x }، {x، y } }. ]
    (أ) اشرح كيف يسمح لنا هذا التعريف بالتمييز بين الأزواج المرتبة (3 ، 5) و (5 ، 3).

    (ب) دع (A ) و (B ) يتم تعيينهما ودعنا (أ ، ج في أ ) و (ب ، د في ب ). استخدم هذا التعريف للزوج المرتب ومفهوم مجموعة المساواة لإثبات ذلك ((أ ، ب) = (ج ، د) ) فقط إذا كان (أ = ج ) و (ب = د ) .

    يمكن اعتبار الثلاثية المرتبة على أنها ثلاثية واحدة من الكائنات ، يُشار إليها بـ ( (أ ) ، (ب ) ، (ج )) ، بترتيب ضمني. هذا يعني أنه لكي تتساوى ثلاثيات مرتبة ، يجب أن تحتوي على نفس العناصر بالضبط بنفس الترتيب. هذا هو ((أ ، ب ، ج) = (ف ، ف ، ص) ) إذا وفقط إذا (أ = ع ) ، (ب = ف ) و (ج = ص ).

    (ج) اسمح (A ) و (B ) و (C ) بتكوين مجموعات ، واسمحوا (x in A ) و (y in B ) و (z in) ج ). اكتب تعريفًا نظريًا ثابتًا للثلاثي المرتب ((x ، y ، z) ) مشابهًا للتعريف النظري لمجموعة "الزوج المرتب".

إجابه

أضف النصوص هنا. لا تحذف هذا النص أولا.


ال يسار يمين (عرضي) الاتجاه يسمى عادة X.
ال فوق تحت (عمودي) الاتجاه يسمى عادة ص.
ضعهم معًا على رسم بياني.

حيث يعبرون النقطة & quot0 & quot ،
نقيس كل شيء من هناك
.

  • ال المحور العاشر يعمل أفقيا من خلال الصفر
  • ال المحور ص يعمل عموديًا خلال الصفر

محور: الخط المرجعي الذي تُقاس منه المسافات.

جمع المحور هو المحاورو وضوحا الفأس eez

مثال:

6 وحدات عبر (في x الاتجاه) و

4 وحدات أعلى (في ذ اتجاه)

استمر على طول 6 ثم ارفع 4 ثم & quot؛ ارسم النقطة & quot.

ويمكنك أن تتذكر أي محور من خلال:

x عبارة عن CROSS ، لذا فإن x هي عبر الصفحة.


مرتبة n & # 8211 tuples

تعريف: لنفترض أن $ A_ <1> و A_ <2> $ و $ A_ <3> $ غير & # 8211 مجموعات فارغة و $ a_ <1> in A_ <1>، a_ <2> in A_ <2> $ و $ a_ <3> في A_ <3> $.

طلبت ثلاث مرات من العناصر $ a_ <1> ، a_ <2> $ و $ a_ <3> $ ، المشار إليها بواسطة $ (a_ <1> ، a_ <2> ، a_ <3>) $ ، هي مجموعة

تعريف: دع $ A_ <1> ، ldots ، A_كن & # 8211 مجموعات فارغة و $ a_ <1> في A_ <1> ، ldots ، a_ في_$.

مرتبة n & # 8211 tuple من العناصر $ a_ <1> ، ldots ، a_$ ، يُرمز له بـ $ (a_ <1> ، ldots ، a_) $ ، هي مجموعة


الهياكل المنفصلة التطبيقية

لنفترض أن (A ) و (B ) يكونان. يتم تعريف المنتج الديكارتي لـ (A ) و (B text <،> ) المشار إليه بـ (A times B text <،> ) على النحو التالي: (A times B = <( أ ، ب) منتصف أ في أ رباعي تيكسترم quad b in B > text <،> ) أي ، (A times B ) هي مجموعة من جميع الأزواج المرتبة الممكنة التي يأتي مكونها الأول من (A ) والتي يأتي مكونها الثاني من (ب نص <.> )

مثال 1.3.2. بعض المنتجات الديكارتية.

غالبًا ما يتم تطوير التدوين في الرياضيات لسبب وجيه. في هذه الحالة ، ستوضح بعض الأمثلة سبب استخدام الرمز ( times ) للمنتجات الديكارتية.

دعونا (أ = <1 ، 2 ، 3 > ) و (ب = <4 ، 5 > نص <.> ) ثم (أ مرات ب = <(1 ، 4) ، (1، 5)، (2، 4)، (2، 5)، (3، 4)، (3، 5) > text <.> ) لاحظ أن (| A times B | = 6 = lvert A rvert times lvert B rvert text <.> )

يوضح هذان المثالان القاعدة العامة التي مفادها أنه إذا كان (A ) و (B ) مجموعات محدودة ، فعندئذٍ ( lvert A times B rvert = lvert A rvert times lvert B rvert text <.> )

يمكننا تحديد المنتج الديكارتي لثلاث مجموعات (أو أكثر) بالمثل. على سبيل المثال ، (أ مرات ب مرات ج = <(أ ، ب ، ج): أ في أ ، ب في ب ، ج في ج > نص <.> )

من الشائع استخدام الأس إذا كانت المجموعات في منتج ديكارتي هي نفسها:

القسم الفرعي 1.3.2 مجموعات الطاقة

التعريف 1.3.3. مجموعة الطاقة.

إذا كان (A ) عبارة عن أي مجموعة ، فإن مجموعة الطاقة لـ (A ) هي مجموعة من جميع المجموعات الفرعية من (A text <،> ) المشار إليها ( mathcal

(أ) نص <.> )

تم تضمين الحالتين المتطرفتين ، المجموعة الفارغة وكل من (A text <،> ) في ( mathcal

(أ) نص <.> )

مثال 1.3.4. بعض مجموعات الطاقة.

سنترك الأمر لك لتخمين معادلة عامة لعدد العناصر في مجموعة القوة لمجموعة محدودة. في الفصل الثاني ، سنناقش قواعد العد التي ستساعدنا في اشتقاق هذه الصيغة.

القسم الفرعي 1.3.3 SageMath ملاحظة: المنتجات الديكارتية ومجموعات الطاقة

فيما يلي مثال بسيط لمنتج ديكارتي يتكون من مجموعتين:

هنا أصل المنتج الديكارتي.

مجموعة الطاقة للمجموعة قابلة للتكرار ، كما ترون من إخراج هذه الخلية التالية

يمكنك التكرار على مجموعة الطاقة. هنا مثال تافه.

تمارين 1.3.4 تمارين

دع (A = <0، 2، 3 > text <،> ) (B = <2، 3 > text <،> ) (C = <1، 4 > text <،> ) واجعل المجموعة العالمية (U = <0، 1، 2، 3، 4 > text <.> ) ضع قائمة بعناصر

( displaystyle A times B times C )

( displaystyle U times emptyset )

( displaystyle B times mathcal

(ب))

  1. (displaystyle <(0، 2)، (0، 3)، (2، 2)، (2، 3)، (3، 2)، (3، 3)>)
  2. (displaystyle <(2، 0)، (2، 2)، (2، 3)، (3، 0)، (3، 2)، (3، 3)>)
  3. (displaystyle <(0، 2، 1)، (0، 2، 4)، (0، 3، 1)، (0، 3، 4)، (2، 2، 1)، (2، 2 ، 4) ، (2 ، 3 ، 1) ، (2 ، 3 ، 4) ، (3 ، 2 ، 1) ، (3 ، 2 ، 4) ، (3 ، 3 ، 1) ، (3 ، 3) ، 4) > )
  4. (displaystyle emptyset)
  5. (displaystyle <(0، 1)، (0، 4)، (2، 1)، (2، 4)، (3، 1)، (3، 4)>)
  6. (displaystyle <(2، 2)، (2، 3)، (3، 2)، (3، 3)>)
  7. (displaystyle <(2، 2، 2)، (2، 2، 3)، (2، 3، 2)، (2، 3، 3)، (3، 2، 2)، (3، 2 ، 3) ، (3 ، 3 ، 2) ، (3 ، 3 ، 3) > )
  8. ( displaystyle <(2، emptyset)، (2، <2 >)، (2، <3 >)، (2، <2، 3 >)، (3، emptyset ) ، (3 ، <2 >) ، (3 ، <3 >) ، (3 ، <2 ، 3 >) > )

افترض أنك على وشك أن تقلب قطعة نقود ثم تدحرج نردًا. اسمحوا (A = ) و (ب = <1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 > نص <.> )

كيف يمكنك تفسير المجموعة (أ مرات ب )؟

أدرج كل المجموعات المكونة من عنصرين في ( mathcal

())

أدرج كل مجموعات العناصر الثلاثة في ( mathcal

() نص <.> )

كم عدد المجموعات المفردة (عنصر واحد) الموجودة في ( mathcal

(A) ) إذا ( lvert A rvert = n )؟

هناك (n ) مجموعات فرعية مفردة ، واحدة لكل عنصر.

للإنسان أربع قطع نقدية في جيبه: فلس ، ونيكل ، وعشرة سنتات ، وربع. كم مبلغًا مختلفًا من الأموال يمكنه إخراجها إذا قام بإزالة 3 عملات معدنية في المرة الواحدة؟

ضع قائمة بعناصر (أ مرات ب )

كم عدد العناصر الموجودة في (A ^ 4 ) و ((A times B) ^ 3 )؟

(displaystyle 16 textrm 512)

ضع قائمة بعناصر (أ مرات ب ) و (ب مرات أ نص <.> ) الأقواس والفاصلة في زوج مرتب ليست ضرورية في مثل هذه الحالات حيث تكون عناصر كل مجموعة فردية حرف او رمز.

حدد تقاطع (أ مرات ب ) و (ب مرات أ ) للحالة أعلاه ، ثم خمن بقاعدة عامة لتقاطع (أ مرات ب ) و (ب ) مرات A text <،> ) حيث (A ) و (B ) أي مجموعتين.

لنفترض أن (أ ) و (ب ) مجموعتين غير فارغتين. متى يتساوى (أ مرات ب ) و (ب مرات أ )؟


نظرية

2.2 مخططات أرجاند

غالبًا ما يشار إلى تمثيل الأعداد المركبة في الإحداثيات الديكارتية في الفصل 4. تتضمن هذه العملية ببساطة رسم الإحداثي الوهمي للعدد المركب على المحور y والمكون الحقيقي على المحور x. يُعرف الشكل الناتج بمخطط أرجاند ومثال على أحد هذه الأشكال معروض في الشكل 2.2.1.

الشكل 2.2.1. مثال على مخطط أرجاند.

في هذا الشكل ، يمكن أيضًا التعبير عن العدد المركب 2 + 3i بالرمز r (cosθ + isinθ) حيث r هو المقياس. غالبًا ما يطلق على هذا الشكل القطبي أو صيغة المعامل. المعامل هو طول الوتر وغالبًا ما يتم التعبير عنه كرقم بين قوسين مثل | 4 | أو | 25 | فمثلا. θ هي الزاوية التي يصنعها الوتر مع المحور الحقيقي.


شرح الكتاب

يعتمد تعريف وحل المشكلات الهندسية على القدرة على تمثيل الأنظمة وسلوكها من الناحية الرياضية.

توفر الرياضيات للفنيين الكهربائيين 4/5 دليلًا بسيطًا وعمليًا للمهارات الرياضية الأساسية الضرورية للفنيين والمهندسين. تمت مراجعة هذه الطبعة الثانية وتوسيعها لتشمل وحدة BTEC العليا - "الرياضيات للمهندسين" للشهادات والدبلومات الوطنية العليا في الهندسة الكهربائية والإلكترونية. كما أنه سيلبي احتياجات طلاب السنة الأولى والثانية الجامعيين الذين يدرسون الهندسة الكهربائية.


منتجات Tensor للوحدات النمطية ومجموعات Abelian المجانية بناءً على المنتج الديكارتي

أنا أقرأ كتاب دونالد س. باسمور & quotA Course in Ring Theory & quot.

أنا أركز حاليًا على الفصل 9 من منتجات Tensor. .

أحتاج إلى مساعدة من أجل الحصول على فهم كامل لمجموعة Abelian المجانية المشاركة في بناء منتج الموتر. .

النص الذي كتبه Passmore ذو الصلة بمجموعة Abelian المجانية المشاركة في بناء منتج الموتر هو كما يلي:


سؤالي حول طبيعة مجموعة أبليان الحرة S التي تكون عناصرها مبالغ محدودة من الشكل.

لذلك ( displaystyle 3 (a_3، b_5) + 4 (a_7، b_5) ) و ( displaystyle 1 (a_1، b_1) ) أعضاء في ( displaystyle S ).


لكن كيف تعمل هذه المجموعة". وكيف نقوم بالحساب (إذا استطعنا؟) باستخدام العناصر. وكيف ننتهي بعناصر مثل ( displaystyle (a_1 + a_2، b) ) التي تلعب دورًا في تكوين حاصل قسمة منتج الموتر. .

(أعتذر إذا طرحت سؤالًا مشابهًا من قبل. أشك في أن الإجابة قد تكون أنه يمكننا فقط تكوين مبالغ رسمية ولا يمكننا إجراء عمليات حسابية باستخدام العناصر.)

للسماح لأعضاء MHB بالتعرف على سياق سؤالي ، فإنني أقدم مقدمة Passmore للفصل الخاص به حول منتجات Tensor والذي يتضمن النص الوارد أعلاه. . على النحو التالي:


القسم الفرعي 1.3.1 المنتجات الديكارتية

التعريف 1.3.1. المنتج الديكارتي.

لنفترض أن (A ) و (B ) يكونان. يُعرّف المنتج الديكارتي لـ (A ) و (B text <،> ) المشار إليه بـ (A times B text <،> ) على النحو التالي:

أي ، (A times B ) هي مجموعة من جميع الأزواج المرتبة الممكنة التي يأتي مكونها الأول من (A ) ومكونها الثاني يأتي من (B text <.> )

مثال 1.3.2. بعض المنتجات الديكارتية.

غالبًا ما يتم تطوير التدوين في الرياضيات لسبب وجيه. في هذه الحالة ، ستوضح بعض الأمثلة سبب استخدام الرمز ( times ) للمنتجات الديكارتية.

لاحظ أن (| A times B | = 6 = lvert A rvert times lvert B rvert text <.> )

لاحظ أن (| A times A | = 9 = < lvert A rvert> ^ 2 text <.> )

يوضح هذان المثالان القاعدة العامة التي مفادها أنه إذا كان (A ) و (B ) مجموعات محدودة ، فإن ( lvert A times B rvert = lvert A rvert times lvert B rvert text <.> )

يمكننا تحديد المنتج الديكارتي لثلاث مجموعات (أو أكثر) بالمثل. ستكون هذه مجموعة الكل (n ) - المجموعات حيث يأتي المكون الأول من المجموعة الأولى ، والمكون الثاني يأتي من المجموعة الثانية ،. و (n ^

) يأتي المكون من (n ^) تعيين. فمثلا،

من الشائع استخدام الأس إذا كانت المجموعات في منتج ديكارتي هي نفسها:

القسم الفرعي 1.3.2 مجموعات الطاقة

التعريف 1.3.3. مجموعة الطاقة.

إذا كان (A ) عبارة عن أي مجموعة ، فإن مجموعة الطاقة لـ (A ) هي مجموعة من جميع المجموعات الفرعية من (A text <،> ) المشار إليها ( mathcal

(أ) نص <.> )

تم تضمين الحالتين المتطرفتين ، المجموعة الفارغة وكل من (A text <،> ) في ( mathcal

(أ) نص <.> )

مثال 1.3.4. بعض مجموعات الطاقة.

سنترك الأمر لك لتخمين معادلة عامة لعدد العناصر في مجموعة القوة لمجموعة محدودة. في الفصل 2 ، سنناقش قواعد العد التي ستساعدنا في اشتقاق هذه الصيغة.

القسم الفرعي 1.3.3 SageMath ملاحظة: المنتجات الديكارتية ومجموعات الطاقة

تعتمد الخلايا الثانية والرابعة على الخلايا التي تسبقها ، يرجى التقييم من الأعلى إلى الأسفل.

فيما يلي مثال بسيط لمنتج ديكارتي يتكون من مجموعتين:

هنا هو أصل المنتج الديكارتي.

مجموعة الطاقة للمجموعة قابلة للتكرار ، كما ترون من إخراج هذه الخلية التالية

يمكنك التكرار على مجموعة الطاقة. هنا مثال تافه.

تمارين 1.3.4 تمارين للقسم 1.3

دع (A = <0، 2، 3 > text <،> ) (B = <2، 3 > text <،> ) (C = <1، 4 > text <،> ) واجعل المجموعة العالمية (U = <0، 1، 2، 3، 4 > text <.> ) ضع قائمة بعناصر


5.4: المنتجات الديكارتية - الرياضيات

المنتج الديكارتي لزوج من المجموعات والمشار إليه هو مجموعة جميع الأزواج المرتبة مع و.

هنا يُنظر إلى المجموعة على أنها تقع على طول المحور "الأفقي" أو المحور والمجموعة على طول المحور "الرأسي" أو المحور.

إذا كان لدينا ثلاث مجموعات ، ونعتقد أن المنتجات هي نفسها بشكل أساسي ، لذلك نكتب فقط ونفكر في هذا على أنه مجموعة من كل ثلاثيات مرتبة ، مع ، و.

ومع ذلك ، لا يعتبر هو نفسه ولا هو نفسه.

بشكل عام ، بالنسبة لأي منتج ديكارتي لقائمة مجموعات مرتبة ، هو مجموعة كل المجموعات المرتبة ، مع ، لكل منها.

إذا كانت جميع المجموعات في منتج ما هي نفسها ، فنحن نكتب للمنتج الديكارتي المطوي مع نفسه (إذا وضعنا).

على سبيل المثال ، هي مجموعة كل الثلاثيات المرتبة بـ و في.

من الممكن أيضًا تحديد المنتج الديكارتي لعدد لا نهائي من المجموعات ، ولكن هنا يجب أن يكون المرء حذرًا: اتضح أنه ليس من الواضح أن هذه المنتجات غير فارغة ، حتى لو كان كل عنصر من المنتج غير فارغ : في الواقع هذا يحتاج إلى بديهية رياضية ، تسمى بديهية الاختيار ، والتي قد تكون مقبولة أو لا تكون كذلك.
التالى: مبدأ المتابعة الرياضية: المجموعات السابقة: التعريف بخصائص التقاطعات George A. J. Sparling 2003-12-08


شاهد الفيديو: and Algebra of Sets and Cartesian Products (شهر نوفمبر 2021).