مقالات

6: المشعبات المستقرة وغير المستقرة للتوازن - الرياضيات


من أجل التوازن الزائدي لحقول المتجه المستقلة ، يلتقط الخطي السلوك المحلي بالقرب من التوازن لحقل المتجه غير الخطي. نصف النتائج التي تبرر هذا البيان في سياق أنظمة مستقلة ثنائية الأبعاد.

نحن نعتبر حقل متجه مستقل ثنائي الأبعاد (C ^ r ) ، (r ge 1 ) بالشكل التالي:

( نقطة {x} = و (س ، ص) ) ،

[ dot {y} = g (x، y)، (x، y) in mathbb {R} ^ 2. التسمية {6.1} ]

دع ( phi_ {t} ( cdot) ) تدل على التدفق الناتج عن (6.1). لنفترض أن ((x_ {0}، y_ {0}) ) نقطة توازن قطعي لهذا الحقل المتجه ، أي القيمتان الذاتية للمصفوفة اليعقوبية:

( start {pmatrix} { frac { جزئي f} { جزئي x} (x_ {0}، y_ {0})} & { frac { جزئي f} { جزئي y} (x_ {0 }، y_ {0})} { frac { جزئي g} { جزئي x} (x_ {0}، y_ {0})} & { frac { جزئي g} { جزئي y} ( x_ {0}، y_ {0})} end {pmatrix} )

  • ((x_ {0}، y_ {0}) ) هو مصدر لحقل المتجه الخطي ،
  • ((x_ {0}، y_ {0}) ) هو حوض لحقل المتجه الخطي ،
  • ((x_ {0}، y_ {0}) ) سرج للحقل المتجه الخطي.

نحن نعتبر كل حالة على حدة.

  • في هذه الحالة ((x_ {0}، y_ {0}) ) هو مصدر لـ (6.1). بتعبير أدق ، يوجد حي U من ((x_ {0}، y_ {0}) ) مثل أي (p in U ) ، ( phi_ {t} (p) ) يترك U كما t يزيد.
  • في هذه الحالة ((x_ {0}، y_ {0}) ) هو حوض لـ (6.1). بتعبير أدق ، يوجد حي S من ((x_ {0}، y_ {0}) ) مثل أي (p in S ) ، ( phi_ {t} (p) ) نهج ((x_ {0}، y_ {0}) ) بمعدل أسي مع زيادة t. في هذه الحالة ((x_ {0}، y_ {0}) ) هو مثال على مجموعة الجذب وحوض الجذب الخاص بها مُعطى بواسطة:

    (B equiv bigcup_ {t le 0} phi_ {t} (S). )

  • بالنسبة لحالة نقاط السرج الزائدية ، لا يزال يتم الاحتفاظ ببنية نقطة السرج بالقرب من نقطة التوازن للأنظمة غير الخطية. نشرح الآن بالضبط ما يعنيه هذا. للقيام بذلك ، سنحتاج إلى فحص (6.1) عن كثب. على وجه الخصوص ، سنحتاج إلى تحويل (6.1) إلى نظام إحداثيات يقوم "بتوطين" السلوك بالقرب من نقطة التوازن ويعرض بشكل خاص بنية الجزء الخطي. لقد فعلنا هذا بالفعل عدة مرات في فحص السلوك بالقرب من حلول محددة ، لذلك لن نكرر هذه التفاصيل.

بالتحول محليًا بالقرب من ((x_ {0}، y_ {0}) ) بهذه الطريقة ، يمكننا التعبير عن (6.1) بالصيغة التالية:

[ begin {pmatrix} { dot { zeta}} { dot { eta}} end {pmatrix} = begin {pmatrix} {- alpha} & {0} {0} & { beta} end {pmatrix} begin {pmatrix} { zeta} { eta} end {pmatrix} + begin {pmatrix} {u ( zeta، eta)} {v ( zeta، eta)} end {pmatrix}، alpha، beta> 0، ( zeta، eta) in mathbb {R} ^ 2، label {6.2} ]

حيث الأصل اليعقوبي ،

[ start {pmatrix} {- alpha} & {0} {0} & { beta} end {pmatrix}، label {6.3} ]

يعكس الطبيعة الزائدية لنقطة التوازن. يتم إعطاء الخطية لـ (6.1) حول الأصل من خلال:

[ begin {pmatrix} { dot { zeta}} { dot { eta}} end {pmatrix} = begin {pmatrix} {- alpha} & {0} {0} & { beta} end {pmatrix} begin {pmatrix} { zeta} { eta} end {pmatrix}، label {6.4} ]

من السهل أن نرى ذلك بالنسبة للنظام الخطي

[E ^ s = {( zeta، eta) | eta = 0}، label {6.5} ]

هو الفضاء الجزئي الثابت الثابت و

[E ^ u = {( zeta، eta) | zeta = 0}، label {6.6} ]

هو الفضاء الجزئي غير المستقر الثابت.

نذكر الآن كيف يتم توريث بنية نقطة السرج هذه بواسطة النظام غير الخطي من خلال ذكر نتائج نظرية المشعب المستقرة وغير المستقرة للتوازن الزائدي لحقول المتجه غير المستقلة ثنائية الأبعاد.

أولاً ، نعتبر فترتين من محاور الإحداثيات التي تحتوي على الأصل على النحو التالي:

[I _ { zeta} equiv {- epsilon < zeta < epsilon}، label {6.7} ]

و

[I _ { eta} equiv {- epsilon < eta < epsilon}، label {6.8} ]

لبعض ( إبسيلون> 0 ) الصغيرة. يتم إنشاء حي الأصل بأخذ المنتج الديكارتي لهاتين الفترتين:

[B _ { epsilon} equiv {( zeta، eta) in mathbb {R} ^ 2 | ( zeta، eta) in I _ { zeta} times I _ { eta} } ، التصنيف {6.9} ]

وهو موضح في الشكل 6.1. تنص نظرية المشعب المستقر وغير المستقر لنقاط التوازن القطعي لحقول المتجه المستقلة على ما يلي.

يوجد منحنى (C ^ r ) ، معطى بالرسم البياني لدالة المتغيرات ( zeta ):

[ eta = S ( zeta)، zeta in I _ { zeta}، label {6.10} ]

هذا المنحنى له ثلاث خصائص مهمة.

يمر عبر الأصل ، أي S (0) = 0.

مماس لـ (E ^ s ) في الأصل ، أي ( frac {dS} {d zeta} (0) = 0 ).

إنه ثابت محليًا بمعنى أن أي مسار يبدأ على المنحنى يقترب من الأصل بمعدل أسي مثل (t rightarrow infty ) ، ويترك (B _ { epsilon} ) كـ (t rightarrow - infty ).

علاوة على ذلك ، فإن المنحنى الذي يلبي هذه الخصائص الثلاثة فريد من نوعه. لهذه الأسباب ، يُشار إلى هذا المنحنى على أنه المشعب المستقر المحلي للأصل ، ويُشار إليه بـ:

[W_ {loc} ^ {s} ((0، 0)) = {( zeta، eta) in B _ { epsilon} | eta = S ( zeta) }. التسمية {6.11} ]

وبالمثل ، يوجد منحنى (C ^ {r} ) آخر ، يُعطى بواسطة الرسم البياني لوظيفة المتغيرات ( eta ):

[ zeta = U ( eta)، eta in I _ { eta}، label {6.12} ]

هذا المنحنى له ثلاث خصائص مهمة.

يمر عبر الأصل ، أي U (0) = 0.

مماس لـ (E ^ u ) في الأصل ، أي ( frac {dU} {d eta} (0) = 0 ).

إنه ثابت محليًا بمعنى أن أي مسار يبدأ على المنحنى يقترب من الأصل بمعدل أسي مثل (t rightarrow - infty ) ، ويترك (B _ { epsilon} ) كـ (t ) rightarrow infty).

لهذه الأسباب ، يُشار إلى هذا المنحنى على أنه المشعب المحلي غير المستقر للأصل ، ويُشار إليه بـ:

[W_ {loc} ^ {u} ((0، 0)) = {( zeta، eta) in B _ { epsilon} | zeta = S ( zeta) }. التسمية {6.13} ]

المنحنى الذي يلبي هذه الخصائص الثلاثة فريد من نوعه.

هذه المشعبات المحلية المستقرة وغير المستقرة هي "بذور" المشعبات العالمية المستقرة وغير المستقرة والتي يتم تعريفها على النحو التالي:

[W ^ {s} ((0، 0)) equiv bigcup_ {t le 0} phi_ {t} (W_ {loc} ^ {s} ((0، 0)))، label { 6.14} ]

و

[W ^ {u} ((0، 0)) equiv bigcup_ {t ge 0} phi_ {t} (W_ {loc} ^ {u} ((0، 0)))، label { 6.15} ]

الآن سننظر في سلسلة من الأمثلة التي توضح كيفية استخدام هذه الأفكار.

مثال ( PageIndex {13} )

نحن نعتبر المجال المتجه المستقل غير الخطي التالي على المستوى:

( نقطة {x} = س ) ،

[ dot {y} = y + x ^ 2، (x، y) in mathbb {R} ^ 2. التسمية {6.16} ]

هذا الحقل المتجه له نقطة توازن في الأصل ، (x ، y) = (0 ، 0). يتم إعطاء اليعقوبي للحقل المتجه الذي تم تقييمه في الأصل من خلال:

[ start {pmatrix} {1} & {0} {0} & {- 1} end {pmatrix}. التسمية {6.17} ]

من هذا الحساب يمكننا أن نستنتج أن الأصل هو نقطة سرج زائدية. علاوة على ذلك ، فإن المحور x هو الفضاء الجزئي غير المستقر لحقل المتجه الخطي والمحور y هو الفضاء الجزئي المستقر لحقل المتجه الخطي.

بعد ذلك نعتبر مجال المتجه غير الخطي (6.16). من خلال الفحص ، نرى أن المحور y (أي x = 0) هو المشعب العالمي الثابت للأصل. بعد ذلك نعتبر المشعب غير المستقر. قسمة المعادلة الثانية على المعادلة الأولى في (6.16) يعطي:

[ frac { dot {y}} { dot {x}} = frac {dy} {dx} = - frac {y} {x} + x. التسمية {6.18} ]

هذه معادلة خطية غير ذاتية. يتم إعطاء حل لهذه المعادلة التي تمر عبر الأصل من خلال:

[y = frac {x ^ 2} {3} ، label {6.19} ]

كما أنه مماس للفضاء الجزئي غير المستقر في الأصل. إنه المتشعب العالمي غير المستقر.

ندرس هذا البيان أكثر. من السهل حساب التدفق الناتج عن (6.16). يمكن حل المكون x واستبداله بالمكون y للحصول على معادلة خطية غير ذاتية من الدرجة الأولى. ومن ثم ، فإن التدفق الناتج عن (6.16) يتم الحصول عليه من خلال:

(x (t، x_ {0}) = x_ {0} e ^ t )،

[y (t، t_ {0}) = (y_ {0} - frac {x_ {0} ^ 2} {3}) e ^ {- t} + frac {x_ {0} ^ 2} { 3} هـ ^ {2t} ، label {6.20} ]

المشعب العام غير المستقر للأصل هو مجموعة الشروط الأولية التي لها خاصية أن المسارات من خلال هذه الشروط الأولية تقترب من الأصل بمعدل أسي مثل (t rightarrow - infty ). عند فحص مكوني (6.20) ، نرى أن المكون x يقترب من الصفر مثل (t rightarrow - infty ) لأي اختيار (x_ {0} ). ومع ذلك ، فإن المكون y سيقترب من الصفر فقط عند اختيار (t rightarrow - infty ) إذا تم اختيار (y_ {0} ) و (x_ {0} ) بحيث

[y_ {0} = frac {x_ {0} ^ 2} {3} ، label {6.21} ]

ومن ثم فإن (6.21) هو المشعب العالمي غير المستقر للأصل.

مثال ( PageIndex {14} )

ضع في اعتبارك المجال المتجه غير الخطي المستقل التالي على المستوى:

( نقطة {x} = س-س ^ 3 ) ،

[ dot {y} = -y، (x، y) in mathbb {R} ^ 2. التسمية {6.22} ]

لاحظ أن عنصري x و y يتطوران بشكل مستقل.

يتم إعطاء نقاط التوازن واليعاقبة المرتبطين بخططهم على النحو التالي:

[(س ، ص) = (0 ، 0) ؛ start {pmatrix} {1} & {0} {0} & {- 1} end {pmatrix}؛ السرج التسمية {6.23} ]

[(x، y) = ( pm 1، 0)؛ start {pmatrix} {-2} & {0} {0} & {- 1} end {pmatrix}؛ المصارف التسمية {6.24} ]

نحن الآن نحسب المشعبات العالمية المستقرة وغير المستقرة لهذه التوازن. نبدأ بنقطة السرج في الأصل.

(W ^ {s} ((0، 0)) = {(x، y) | x = 0 } )

[W ^ {u} ((0، 0)) = {(x، y) | -1

بالنسبة للأحواض ، يكون المشعب المستقر العالمي متزامنًا مع حوض الجذب للحوض.

[(1، 0): W ^ {s} ((1، 0)) = {(x، y) | x> 0 } label {6.26} ]

[(- 1 ، 0): W ^ {s} ((-1، 0)) = {(x، y) | x <0 } label {6.27} ]

مثال ( PageIndex {15} )

في هذا المثال ، نعتبر مجال المتجه المستقل غير الخطي التالي على المستوى:

( نقطة {x} = -x ) ،

[ dot {y} = y ^ {2} (1-y ^ {2})، (x، y) in mathbb {R} ^ 2. التسمية {6.28} ]

لاحظ أن عنصري x و y يتطوران بشكل مستقل.

يتم إعطاء نقاط التوازن واليعاقبة المرتبطين بخططهم على النحو التالي:

[(x، y) = (0، 0)، (0، pm 1) label {6.29} ]

[(س ، ص) = (0 ، 0) ؛ start {pmatrix} {-1} & {0} {0} & {0} end {pmatrix}؛ ليست زائدية تصنيف {6.30} ]

[(س ، ص) = (0 ، 1) ؛ start {pmatrix} {-1} & {0} {0} & {- 2} end {pmatrix}؛ حوض تسمية {6.31} ]

[(س ، ص) = (0 ، -1) ؛ start {pmatrix} {-1} & {0} {0} & {2} end {pmatrix}؛ السرج التسمية {6.32} ]

نقوم الآن بحساب الهيكل الشامل الثابت المتشعب لكل توازن ، بدءًا من (0 ، 0).

(W ^ {s} ((0، 0)) = {(x، y) | y = 0 } )

[W ^ {u} ((0، 0)) = {(x، y) | -1

من الواضح أن المحور السيني هو المشعب المستقر العالمي لنقطة التوازن هذه. المقطع على المحور y بين (- 1 ) و 1 ثابت ، لكنه لا يتوافق مع الاتجاه الزائدي. يُشار إليه على أنه المشعب المركزي للأصل ، وسوف نتعلم المزيد عن المشعبات الثابتة المرتبطة بالاتجاهات غير الزائدية لاحقًا.

نقطة التوازن (0 ، 1) هي حوض. يتم تقديم مشعبها المستقر العالمي (حوض الجذب) من خلال:

[W ^ {s} ((0، 1)) = {(x، y) | y> 0 } label {6.34} ]

نقطة التوازن ((0 ، -1) ) هي نقطة سرج ذات فتحات عالمية مستقرة وغير مستقرة يتم تقديمها بواسطة:

(W ^ {s} ((0، -1)) = {(x، y) | y = -1 } )

[W ^ {u} ((0، -1)) = {(x، y) | - infty

مثال ( PageIndex {16} )

في هذا المثال ، نعتبر مجال المتجه المستقل غير الخطي التالي على المستوى:

( نقطة {x} = ص ) ،

[ dot {y} = x-x ^ {3} - delta y، (x، y) in mathbb {R} ^ 2، delta> 0، label {6.36} ]

حيث يتم عرض ( delta> 0 ) كمعامل. يتم إعطاء نقاط التوازن من خلال:

[(x، y) = (0، 0)، ( pm 1، 0). التسمية {6.37} ]

نريد تصنيف الاستقرار الخطي للتوازن. يتم إعطاء اليعقوبي للحقل المتجه من خلال:

[A = begin {pmatrix} {0} & {1} {1-3x ^ 2} & {- delta} end {pmatrix}، label {6.38} ]

والقيم الذاتية ليعقوبي هي:

[ lambda _ { pm} = - frac { delta} {2} pm frac {1} {2} sqrt { delta ^ 2 + 4-12x ^ 2}. التسمية {6.39} ]

نقوم بتقييم هذا التعبير لقيم eigenvalues ​​في كل من التوازن لتحديد استقرارها الخطي.

[(0 ، 0) ؛ lambda _ { pm} = - frac { delta} {2} pm frac {1} {2} sqrt { delta ^ 2 + 4} label {6.40} ]

لاحظ أن

( دلتا ^ 2 + 4> دلتا ^ 2 )

لذلك فإن قيم eigenvalues ​​هي دائمًا حقيقية وذات علامة معاكسة. هذا يعني أن (0 ، 0) سرج.

[( pm 1، 0)؛ lambda _ { pm} = - frac { delta} {2} pm frac {1} {2} sqrt { delta ^ 2-8} label {6.41} ]

أولا ، لاحظ ذلك

( دلتا ^ 2-8 < دلتا ^ 2 ).

هذا يعني أن هاتين النقطتين الثابتتين هما دائمًا مغاسل. ومع ذلك ، هناك نوعان من الحالات الفرعية.

( delta ^ 2-8 <0 ): تحتوي القيم الذاتية على جزء وهمي غير صفري.

( delta ^ 2-8> 0 ): قيم eigenvalues ​​حقيقية تمامًا.

في التين. 6.4 نقوم برسم الهيكل المحلي الثابت المتشعب لهاتين الحالتين.

في التين. 6.5 نحن نرسم الهيكل العالمي الثابت المتشعب للحالتين. في المحاضرات القادمة سوف نتعلم كيف يمكننا تبرير هذا الرقم. ومع ذلك ، لاحظ الدور الذي يلعبه المشعب المستقر للسرج في تحديد أحواض عوامل الجذب في الحوضين.

​​​​​​​


المعادلات التفاضلية العادية

الإسناد
CC BY


Hyperchaos في دائرة memristive رباعية الأبعاد مع عدد لا نهائي من التوازنات المستقرة

تدرس هذه الورقة نظام memristive رباعي الأبعاد (4D) تم تعديله من النظام الفوضوي ثلاثي الأبعاد الذي اقترحه Lü و Chen. يحافظ النظام الجديد على تناسق وتبديد النظام الأصلي وله عدد لا حصر له من التوازن المستقر وغير المستقر. من خلال تغيير قوة memristor ، نجد ديناميكيات معقدة غنية ، مثل دورات الحد ، والحلقة ، والفوضى ، و hyperchaos ، والتي يمكن أن تتعايش بسلام مع التوازن المستقر. لشرح هذا التعايش ، نحسب المشعبات غير المستقرة للتوازن ، ونجد أن المشعبات تخلق منطقة آمنة للجاذب مفرط التماثل ، ونجد أيضًا العديد من المدارات غير المتجانسة. للتحقق من وجود hyperchaos في دائرة memristive رباعية الأبعاد ، نقوم بإجراء إثبات بمساعدة الكمبيوتر عبر حدوة حصان طوبولوجي مع توسعات ثنائية الاتجاه ، بالإضافة إلى تجربة دائرة على مناظر راسم الذبذبات.

هذه معاينة لمحتوى الاشتراك ، والوصول عبر مؤسستك.


حلول التوازن المستقرة وشبه المستقرة وغير المستقرة

أذكر ذلك إذا $ frac

= f (t، y) $ معادلة تفاضلية ، ثم يمكن الحصول على حلول التوازن عن طريق تعيين $ frac
= 0 دولار. على سبيل المثال ، إذا كان $ frac = y (y + 2) $ ، إذن يمكن الحصول على حلول التوازن من خلال حل $ y (y + 2) = 0 $ لـ $ y $. ومن ثم نرى أن $ y = 0 $ و $ y = -2 $ هما حلا التوازن.

سننظر الآن في تصنيف حلول التوازن هذه.

تعريف: يقال أن حل التوازن هو مستقر بشكل مقارب إذا كان على جانبي حل التوازن هذا ، توجد حلول أخرى تقترب من حل التوازن هذا. يقال أن حل التوازن هو شبه مستقر إذا كان أحد جوانب حل التوازن هذا موجودًا هناك حلول أخرى تقترب من حل التوازن هذا ، وعلى الجانب الآخر من حل التوازن ، فإن الحلول الأخرى تتباعد عن حل التوازن هذا. يقال أن حل التوازن هو غير مستقر إذا تباعدت الحلول الأخرى عن حل التوازن هذا على جانبي حل التوازن هذا.

الصورة التالية هي حقل المنحدر للمعادلة التفاضلية $ frac = (y - 1) ^ 2 (y - 2) (y- 3) $ الذي له ثلاثة حلول توازن ، $ y = 1 $ ، $ y = 2 $ ، $ y = 3 $.


محتويات

تتعامل العديد من أجزاء النظرية النوعية للمعادلات التفاضلية والأنظمة الديناميكية مع الخصائص المقاربة للحلول والمسارات - ما يحدث مع النظام بعد فترة طويلة من الزمن. يتم عرض أبسط أنواع السلوك من خلال نقاط التوازن ، أو النقاط الثابتة ، والمدارات الدورية. إذا تم فهم مدار معين جيدًا ، فمن الطبيعي أن نسأل بعد ذلك عما إذا كان تغيير بسيط في الحالة الأولية سيؤدي إلى سلوك مماثل. تتناول نظرية الاستقرار الأسئلة التالية: هل سيبقى مدار قريب إلى أجل غير مسمى قريبًا من مدار معين؟ هل ستتقارب في المدار المحدد؟ في الحالة الأولى ، يسمى المدار مستقر في الحالة الأخيرة ، يتم استدعاؤه مستقر بشكل مقارب ويقال أن المدار هو جذب.

يعني الاستقرار أن المسارات لا تتغير كثيرًا في ظل الاضطرابات الصغيرة. الموقف المعاكس ، حيث يتم طرد مدار قريب من المدار المحدد ، هو أيضًا موضع اهتمام. بشكل عام ، يؤدي اضطراب الحالة الأولية في بعض الاتجاهات إلى اقتراب المسار تقاربيًا من الاتجاه المعطى وفي اتجاهات أخرى للابتعاد عن المسار. قد تكون هناك أيضًا اتجاهات يكون فيها سلوك المدار المضطرب أكثر تعقيدًا (لا يتقارب ولا يهرب تمامًا) ، ومن ثم لا تقدم نظرية الاستقرار معلومات كافية حول الديناميكيات.

تتمثل إحدى الأفكار الرئيسية في نظرية الاستقرار في أنه يمكن تحليل السلوك النوعي للمدار تحت الاضطرابات باستخدام الخطية للنظام بالقرب من المدار. على وجه الخصوص ، عند كل توازن لنظام ديناميكي سلس مع نفضاء الطور ذو الأبعاد ، هناك شيء معين ن×ن مصفوفة أ التي تميز قيمها الذاتية سلوك النقاط القريبة (نظرية هارتمان-جروبمان). بتعبير أدق ، إذا كانت جميع قيم eigenvalues ​​عبارة عن أرقام حقيقية سالبة أو أرقام معقدة ذات أجزاء حقيقية سالبة ، فإن النقطة هي نقطة جذب ثابتة ثابتة ، وتتلاقى النقاط القريبة إليها بمعدل أسي ، واستقرار Lyapunov والاستقرار الأسي. إذا لم يكن أي من قيم eigenvalues ​​خياليًا بحتًا (أو صفرًا) ، فإن اتجاهات الجذب والصد مرتبطة بمسافات eigens في المصفوفة أ مع القيم الذاتية التي يكون جزءها الحقيقي سالبًا وإيجابيًا على التوالي. البيانات المماثلة معروفة باضطرابات المدارات الأكثر تعقيدًا.

أبسط نوع من المدار هو نقطة ثابتة ، أو توازن. إذا كان النظام الميكانيكي في حالة توازن مستقر ، فإن دفعة صغيرة ستؤدي إلى حركة موضعية ، على سبيل المثال ، تذبذبات صغيرة كما في حالة البندول. في نظام مع التخميد ، تكون حالة التوازن المستقر مستقرة بشكل مقارب. من ناحية أخرى ، بالنسبة للتوازن غير المستقر ، مثل وجود كرة على قمة تل ، فإن بعض الدفعات الصغيرة ستؤدي إلى حركة ذات سعة كبيرة قد تتقارب أو لا تتقارب مع الحالة الأصلية.

هناك اختبارات مفيدة للثبات في حالة النظام الخطي. غالبًا ما يمكن الاستدلال على استقرار النظام غير الخطي من استقرار خطيته.

تحرير الخرائط

يترك F: رر تكون دالة قابلة للتفاضل باستمرار بنقطة ثابتة أ , F(أ) = أ . ضع في اعتبارك النظام الديناميكي الذي تم الحصول عليه من خلال تكرار الوظيفة F :

النقطة الثابتة أ يكون ثابتًا إذا كانت القيمة المطلقة لمشتق F في أ أقل من 1 تمامًا ، وغير مستقرة إذا كانت أكبر من 1. هذا بسبب قربها من النقطة أ ، الوظيفة F له تقريب خطي مع المنحدر F'(أ) :

و (س) ≈ و (أ) + و ′ (أ) (س - أ).

xn + 1 - xn = f (xn) - xn ≃ f (a) + f ′ (a) (xn - a) - xn = a + f ′ (a) (xn - a) - xn = (f ′ ( أ) - 1) (xn - a) → xn + 1 - xnxn - a = f ′ (a) - 1 -x_= و (س_) -x_ simeq f (a) + f '(a) (x_-فأس_= أ + و '(أ) (س_-فأس_= (f '(a) -1) (x_-a) إلى < frac <>-x_><>-a >> = f '(أ) -1>

مما يعني أن المشتق يقيس المعدل الذي تقترب به التكرارات المتتالية من النقطة الثابتة أ أو تبتعد عنه. إذا كان المشتق في أ هي بالضبط 1 أو 1 ، إذن هناك حاجة إلى مزيد من المعلومات لتقرير الاستقرار.

يوجد معيار مشابه لخريطة قابلة للتفاضل باستمرار F: ر نر ن بنقطة ثابتة أ ، معبراً عنها من حيث المصفوفة اليعقوبية في أ , يأ(F). إذا كانت جميع قيم eigenvalues ​​من ي هي أرقام حقيقية أو معقدة بقيمة مطلقة أقل من 1 عندئذٍ أ هي نقطة ثابتة ثابتة إذا كان لواحد منها على الأقل قيمة مطلقة أكبر من 1 إذن أ غير مستقر. فقط مثل ن = 1 ، تحتاج حالة أكبر قيمة مطلقة وهي 1 إلى مزيد من التحقيق - اختبار المصفوفة اليعقوبية غير حاسم. ينطبق نفس المعيار بشكل أكثر عمومية على تعدد الأشكال لمشعب سلس.

أنظمة الحكم الذاتي الخطي تحرير

يمكن تحليل استقرار النقاط الثابتة لنظام المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعامل الثابت من الدرجة الأولى باستخدام القيم الذاتية للمصفوفة المقابلة.

أين x(ر) ∈ ر ن و أ هو ن×ن مصفوفة بإدخالات حقيقية ، لها حل ثابت

(بلغة مختلفة ، الأصل 0 ∈ ر ن هي نقطة توازن للنظام الديناميكي المقابل.) هذا الحل مستقر بشكل مقارب مثل ر → ∞ ("في المستقبل") إذا وفقط إذا كانت لجميع قيم eigenvalues λ من أ ، إعادة(λ) & lt 0. وبالمثل ، فهو مستقر بشكل مقارب مثل ر → −∞ ("في الماضي") إذا وفقط إذا كانت لجميع قيم eigenvalues λ من أ ، إعادة(λ) & GT 0. إذا كان هناك قيمة ذاتية λ من أ مع إعادة(λ) & gt 0 فإن الحل غير مستقر لـ ر → ∞ .

يتم تسهيل تطبيق هذه النتيجة في الممارسة العملية ، من أجل تقرير استقرار الأصل لنظام خطي ، من خلال معيار استقرار روث-هورويتز. القيم الذاتية للمصفوفة هي جذور كثير الحدود المميز لها. كثير الحدود في متغير واحد مع معاملات حقيقية يسمى Hurwitz متعدد الحدود إذا كانت الأجزاء الحقيقية لجميع الجذور سالبة تمامًا. تتضمن نظرية Routh-Hurwitz توصيف Hurwitz متعدد الحدود عن طريق خوارزمية تتجنب حساب الجذور.

تحرير الأنظمة المستقلة غير الخطية

غالبًا ما يمكن تحديد الاستقرار المقارب للنقاط الثابتة للنظام غير الخطي باستخدام نظرية هارتمان-جروبمان.

لنفترض أن الخامس هو ج 1- المجال النواقل ر ن التي تختفي عند نقطة ما ص , الخامس(ص) = 0. ثم نظام الحكم الذاتي المقابل

يترك يص(الخامس) كن ال ن×ن مصفوفة يعقوبية لحقل المتجه الخامس في هذه النقطة ص . إذا كانت جميع قيم eigenvalues ​​من ي لديك جزء حقيقي سلبي تمامًا ، ثم يكون الحل مستقرًا بشكل مقارب. يمكن اختبار هذه الحالة باستخدام معيار Routh-Hurwitz.

الطريقة العامة لتأسيس استقرار Lyapunov أو الاستقرار المقارب لنظام ديناميكي هي عن طريق وظائف Lyapunov.


أرنولد (1998) أنظمة ديناميكية عشوائية سبرينغر نيويورك

أنا (1992). عوامل الجذب لمعادلات التطور ، شمال هولندا ، أمستردام ، لندن ، نيويورك ، طوكيو.

Bates، P.، Lu، K.، and Zeng، C. (1998) وجود واستمرار المشعبات الثابتة لـ semiflows في مساحة Banach ، المجلد. 135 من مذكرات AMS

Caraballo ، T. ، Kloeden ، P. ، and Schmalfuß ، B. (2003). حلول ثابتة ثابتة بشكل أسي لمعادلات التطور العشوائية واضطرابها. مخطوطة.

T. Caraballo J. Langa J.C Robinson (2001) ArticleTitle A stochastic مذراة تشعب في معادلة التفاعل والانتشار بروك. R. Soc. لوند. أ 457 2041–2061

C. Castaing M. Valadier (1977) التحليل المحدب والوظائف المتعددة القابلة للقياس Springer-Verlag Berlin ، هايدلبرغ ، نيويورك.

S-N. تشاو ك. لو X -B. لين (1991) مقالة بعنوان أوراق الشجر الناعمة للتدفقات في فضاء باناخ J. المعادلات التفاضلية 94 266–291

زابكزيك (1992) المعادلات العشوائية في الأبعاد اللانهائية مطبعة جامعة كامبريدج

ج.دا براتو أ.ديبوسش (1996) مقال العنوان بناء مشعبات القصور الذاتي العشوائية باستخدام التكامل العكسي مؤشر الاستوكاستك Stochastics Rep. 59 معرف العدد 3-4 305-324

دوان ، ج. ، لو ، ك. ، وشمالفو ، ب. (2003). المشعبات الثابتة للمعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية. آن. سؤال. في الصحافة

T.V Girya I. D. Chueshov (1995) مقال العنوان المشعبات بالقصور الذاتي والتدابير الثابتة للأنظمة الديناميكية التبديدية المضطربة عشوائياً سب. رياضيات. 186 معرف الإصدار 1 29-45

ج. هادامارد (1901) مقال بعنوان Sur l’iteration et les Solutions asymptotiques des equations differentielles ثور. شركة رياضيات. فرنسا 29 224–228

هنري (1981) النظرية الهندسية لمعادلات القطع المكافئ نصف الخطية المجلد. 840 من ملاحظات محاضرة في الرياضيات Springer-Verlag نيويورك

كونيتا (1990) التدفقات العشوائية والمعادلات التفاضلية العشوائية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، كامبريدج

لحر. محمد إم. ر. شوتزو (1999) مقال العنوان نظرية المشعب المستقر للمعادلات التفاضلية العشوائية آن. سؤال 27 معرف العدد (2) 615-652

O. Perron (1928) عنوان المقالة < "U> ber Stabilit " في und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen رياضيات. Z. 29 129–160

D. Ruelle (1982) مقال عنوان الأسس المميزة والمتشعبات الثابتة في مساحات هيلبرت آن. الرياضيات. 115 243–290

B. Schmalfuß (1997) ArticleTitle الجاذب العشوائي لنظام لورينز العشوائي زامب 48 951–975

B. Schmalfuß (2000) عنوان المقالة نظرية النقطة الثابتة العشوائية وتحويل الرسم البياني العشوائي J. الرياضيات. شرجي. تطبيق 225 معرف العدد 1 91-113

Schmalfu ß B. (2000). عوامل الجذب للأنظمة الديناميكية غير المستقلة. في Gr < ”o> ger، K.، Fiedler B.، and Sprekels، J. (eds.)، Proceedings ، العالم العلمي ، ص 684 - 690.

T. Wanner (1995) الخطي للأنظمة الديناميكية العشوائية C. Jones U. Kirchgraber H. O. Walther (Eds) Dynamics Reported Springer-Verlag New York 203-269


محتويات

موقع الويب على برامج الأنظمة الديناميكية هو [a8].

حزمة البرامج الأكثر استخدامًا لحسابات الأنظمة الديناميكية هي AUTO97 [a4]. يتم توزيع هذا البرنامج بحرية انظر [a1]. دليل متاح أيضا من هذا الموقع. يحتوي AUTO على العديد من الميزات المثيرة للاهتمام:

يمكنه حساب فروع الحل من (a2) ، واكتشاف نقاط الفروع وحسابها وحساب الفروع المتفرعة. يمكنه أيضًا اكتشاف وحساب نقاط الحدود ونقاط Hopf ومتابعة هذه في معلمتين. أيضًا ، يمكنه العثور على القيمة القصوى لوظيفة موضوعية على طول فروع الحل ومواصلة هذه القيم القصوى في المزيد من المعلمات.

يمكنه حساب النقاط الثابتة للنظام الديناميكي المنفصل (a3). يمكنه حساب فروع هذه النقاط الثابتة ، واكتشاف وحساب ومواصلة نقاط الطي ، ومضاعفة الفترة (قلب) وتشعبات Neimark-Sacker للنقاط الثابتة.

يمكنه إجراء تحليل التشعب لـ (a1). يمكنه حساب فروع المدارات الدورية المستقرة وغير المستقرة وحساب مضاعفات فلوكيت. يمكن بدء المدارات الدورية من نقاط تشعب هوبف. على طول فروع نقاط التفرع في المدارات الدورية ، يمكن حساب نقاط الطي ، ومضاعفة الفترة ، وتشعبات الحلقة. في الفرع والفترة ، يمكن تبديل الفروع المضاعفة.

يمكن متابعة التشعبات المضاعفة للفترة ، والطي ، ونقاط تشعب الحلقة ، والمدارات ذات الفترة الثابتة في معلمتين.

يمكن أن تتبع منحنيات مدارات homoclinic ويكتشف ويستمر مختلف codimension- 2 $ مدارات homoclinic.

يمكنه تحديد موقع القيم القصوى لوظيفة موضوعية متكاملة على طول فرع من الحلول الدورية ومواصلة هذه القيم القصوى في المزيد من المعلمات.

يمكنه أيضًا حساب منحنيات الحلول لـ (a1) على فترة زمنية ثابتة $ [0،1] $ مع مراعاة الشروط العامة غير الخطية والتكاملية. يمكن حساب نقاط الطيات والتفرع على طول هذه المنحنيات. يمكن حساب منحنيات الطيات ويتم توفير تبديل الفروع عند نقاط التفرع.

يمكنه أيضًا إجراء بعض الحسابات الثابتة والموجة للمعادلات التفاضلية الجزئية للنموذج

يبدأ بطاقة شعار dot = D _ > + G (x، alpha)، end

حيث $ D $ مصفوفة قطرية لثوابت الانتشار و $ x $ تعتمد على الوقت $ t $ ومتغير الفضاء أحادي البعد $ s $.

في AUTO ، تم التأكيد بشدة على الجودة العددية للخوارزميات وحظيت واجهة المستخدم الرسومية باهتمام أقل. في الواقع ، يمكن استخدام AUTO في وضع الأوامر ، أي بدون أي واجهة رسومية.

المحتوى.

حزمة أخرى مهمة هي CONTENT [a10] ، مطورها الرئيسي هو Yu.A. كوزنتسوف.

المحتوى عبارة عن بيئة متابعة ويكون تفاعل المستخدم عبر نظام النوافذ. بالنسبة للمعادلات الجبرية (a2) كحلول توازن لـ (a1) ، يوفر CONTENT إجراءات روتينية أكثر مما يوفره AUTO. في الواقع ، يسمح للفرد باكتشاف جميع تشعبات الكود ثنائية التشعب ومتابعتها عدديًا إذا تم تحرير معامل ثالث. هذه التشعبات ثنائية الترميز هي: بوجدانوف-تاكينز ، صفر-هوبف ، هوبف المزدوج ، الحدبة ، وهوبف المعمم. تم وصف سلوك الأنظمة الديناميكية بالقرب من تشعبات التوازن ثنائية الترميز في [a7] و [a9]. بشكل عام ، يمكن اكتشاف المدارات الدورية والمدارات المتجانسة والتوري الثابت والسلوك الفوضوي. حتى المحتوى يسمح لك باكتشاف وحساب ترميز معين- 3 دولارات متشعبة ، مثل الصفر الثلاثي ، والذيل بشق ، وهوبف المزدوج الرنان ، وعدد قليل من الآخرين. أيضًا ، في معظم الحالات ، يوفر CONTENT العديد من الإجراءات الحسابية لحساب نقاط التشعب ومتابعتها.

بالنسبة للأنظمة الديناميكية المنفصلة (a3) ​​، يوفر CONTENT نفس الاحتمالات مثل AUTO ولكنه يترك خيارات المستخدم لاستخدام عدة طرق.

بالنسبة للأنظمة الديناميكية (a1) ، يوفر CONTENT إجراءات روتينية أقل من AUTO. ومع ذلك ، فإنه يسمح لحساب منحنيات المدارات الدورية واكتشاف الطيات والوجه وتشعبات Neimark-Sacker.

بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية ، يسمح CONTENT بفئة أوسع من المشكلات أحادية البعد مما تفعله AUTO في الواقع ، في (a4) يمكن استبدال الجانب الأيمن عمليًا بأي وظيفة "معقولة" ويمكن أن تكون شروط الحدود عامة تمامًا. من ناحية أخرى ، فإن حساب التطور الزمني لمثل هذه الأنظمة هو فقط في الوقت الحاضر (2000) مدعوم وطريقة أويلر و Crank-Nicolson الضمنية فقط.

حزم أخرى.

الحزمة الثالثة القابلة للمقارنة تقريبًا هي CANDYS / QA (انظر [a8] لمزيد من المعلومات).

يمكن لـ DsTool [a8] حساب توازنات المعادلات التفاضلية العادية والأشكال المختلفة وحساب متشعباتها المستقرة وغير المستقرة. تقوم العديد من الحزم ، ولا سيما DsTool و Dynamics Solver و XPP بمحاكاة معادلات الأنظمة الديناميكية وحلها رقميًا. العديد من الحزم الأخرى ، ولا سيما Global Manifolds 1D و Global Manifolds 2D و GAIO وطريقة BOV تحسب المشعبات الثابتة. راجع [a8] للحصول على التفاصيل.

بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية ، يكون اختيار البرنامج محدودًا. بالإضافة إلى قدرات AUTO و CONTENT ، هناك PDECONT [a8] لمواصلة الحلول الدورية للمعادلات التفاضلية الجزئية. بعد ذلك ، توجد حزمة البرامج PLTMG [a2] التي تسمح للفرد بحل فئة كاملة من مشاكل القيمة الحدودية على مناطق في المستوى ، ومواصلة الحل فيما يتعلق بالمعامل ، وحتى لحساب نقاط التفرع ونقاط الحد. يجمع هذا البرنامج بين تقدير متطور للعنصر المحدود وتقنيات الجبر الخطي المتقدمة.

من أجل المعادلات التفاضلية المتأخرة توجد حزمة التشعب DDE-BIFTOOL [a5].


نموذج النمو اللوجستي - التوازن

بالإضافة إلى رسم بياني لوظيفة الميل ، و (ف) = ص ف (1 - ف / ك). انقر على الشكل الأيسر لتوليد حلول للمعادلة اللوجستية لمختلف مجموعات البداية ص (0). [ملاحظة: يعتبر التنسيق الرأسي للنقطة التي تنقر عندها ص (0). يتم تجاهل الإحداثي الأفقي (الوقت).]

  1. اشرح السبب الفوسفور (ر) = 0 هو حل. الحل الثابت يسمى حالة توازن.
  2. المعادلة اللوجيستية لها توازن آخر ، أي حل النموذج الفوسفور (ر) = مستمر. ما هو الثابت؟ اشرح كيف تعرف من المعادلة التفاضلية أن هذه الوظيفة هي حل.
  3. إذا كانت البداية ص (0) أكبر من ك، ماذا يمكنك أن تقول عن الحل ف (ر)؟ ماذا ترى في المعادلة التفاضلية التي تؤكد هذا السلوك؟
  4. إذا كانت البداية ص (0) أقل من ك، ماذا يمكنك أن تقول عن الحل ف (ر)؟ ماذا ترى في المعادلة التفاضلية التي تؤكد هذا السلوك؟
  5. لماذا القدرة على التحمل اسم مناسب لـ ك?

حل التوازن ف = ج يسمى مستقر إن وجد حل ف (ر) التي تبدأ بالقرب ف = ج يبقى بالقرب منه. التوازن ف = ج يسمى مستقر بشكل مقارب إن وجد حل ف (ر) التي تبدأ بالقرب ف = ج فعلا يتقارب إليه - هذا هو ،

إذا كان التوازن غير مستقر ، يتم استدعاؤه غير مستقر. هذا يعني أن هناك حلًا واحدًا على الأقل يبدأ بالقرب من التوازن ويبتعد عنه.

  1. هو حل التوازن ف = 0 مستقر أم غير مستقر؟ إذا كان مستقرًا ، فهل هو أيضًا مستقر مقاربًا؟ يشرح.
  2. هل حل التوازن الذي وجدته في الخطوة 3 مستقر أم غير مستقر؟ إذا كان مستقرًا ، فهل هو أيضًا مستقر بشكل مقارب؟ يشرح.

Leonard Lipkin and David Smith, "Logistic Growth Model - Equilibria," Convergence (December 2004)


Research Description

  • The computer as the mathematician's "laboratory" for studying global dynamics of nonlinear systems. I'm especially interested in the computation and visualization of smooth invariant manifolds.
  • Reformulation of qualitative questions about nonlinear dynamical systems into quantitative functional equations, and numerical methods for studying these functional equations.
  • Rigorous numerical methods and computer assisted proof in analysis, especially constructive a-posteriori existence (or "shadowing") theorems for invariant manifolds, connecting dynamics, and chaotic motions.

Saddle-node bifurcation

where $ f $ is a smooth function. Suppose that at $ alpha = 0 $ the system (a1) has an equilibrium (cf. also Equilibrium position) $ x = 0 $ with a simple eigenvalue $ lambda _ <1>= 0 $( cf. also Eigen value) of its Jacobian matrix $ A = f _ ( 0,0 ) $. Then, generically, two equilibria collide, form a saddle node singular point, and disappear when $ alpha $ passes through $ alpha = 0 $. This phenomenon is called the saddle-node (or fold) bifurcation [a1], [a2], [a4]. It is characterized by one bifurcation condition $ lambda _ <1>= 0 $( has codimension one) and appears generically in one-parameter families.

To formulate relevant facts more precisely, first consider a smooth differential equation

$ ag > = f ( x, alpha ) , quad x in mathbf R ^ <1>, alpha in mathbf R ^ <1>, $

that has at $ alpha = 0 $ the equilibrium $ x = 0 $ with $ lambda _ <1>= f _ ( 0,0 ) = 0 $. If the following non-degeneracy (genericity) conditions hold:

2) $ f _ alpha ( 0,0 ) eq 0 $, then (a2) is locally topologically equivalent (cf. Equivalence of dynamical systems) near the origin to the normal form

$ ag > = eta + sigma y ^ <2>, quad y in mathbf R ^ <1>, eta in mathbf R ^ <1>, $

where $ sigma = < mathop< m sign>> a = pm 1 $, [a2], [a6]. The system (a3) has two equilibria (one stable and one unstable) $ y _ <1,2 >= pm sqrt <- sigma eta >$ for $ sigma eta < 0 $ and no equilibria for $ sigma eta > 0 $.

In the $ n $- dimensional case, the Jacobian matrix $ A $ evaluated at the equilibrium $ x = 0 $ has a simple eigenvalue $ lambda _ <1>= 0 $, as well as $ n _ $ eigenvalues with $ < mathop< m Re>> lambda _ < 0 $, and $ n _ $ eigenvalues with $ < mathop< m Re>> lambda _ > 0 $( $ n _ + n _ + 1 = n $). According to the centre manifold theorem (cf. Centre manifold [a5], [a3], [a7]), there is an invariant one-dimensional centre manifold $ _ alpha $ near the origin, the restriction of (a1) to which has the form (a2). Moreover, [a2], under the non-degeneracy conditions 1) and 2), the system (a1) is locally topologically equivalent (cf. Equivalence of dynamical systems) near the origin to the suspension of the normal form (a3) by the standard saddle:

$ ag left < egin < > = eta + sigma y ^ <2>, y in mathbf R ^ <1>, eta in mathbf R ^ <1>, > < > _ = - y _ , y _ in mathbf R ^ > , > < > _ = + y _ , y _ in mathbf R ^ > . > النهاية ight . $

Fig.a1 shows the phase portraits of the system (a4) in the planar case, when $ n = 2 $, $ n _ = 1 $, $ n _ = 0 $, and $ sigma = 1 $.

Saddle-node (fold) bifurcation on the plane

The coefficient $ a $ can be computed (to within a scalar multiple) in terms of the right-hand sides of (a1), given two eigenvectors $ v,w in mathbf R ^ $ corresponding to the zero eigenvalue of $ A $ and of its transpose $ A ^ $, respectively:

$ Av = A ^ w = 0, quad left langle ight angle = 1, $

where $ langle angle = sum _ ^ w _ v _ $ is the inner product in $ mathbf R ^ $. Namely [a6],

For discrete-time dynamical systems, similar results are valid concerning bifurcations of fixed points with a simple eigenvalue $ mu _ <1>= 1 $ of the Jacobian matrix [a2], [a8], [a6].


شاهد الفيديو: سلسلة تعلم الرياضيات الفيديو 6: المعادلات Les équations (شهر نوفمبر 2021).