مقالات

13.1 هـ: مسائل القيمة الحدية (تمارين) - الرياضيات


Q13.1.1

1. تحقق من أن (B_ {1} ) و (B_ {2} ) عاملين خطيين ؛ بمعنى ، إذا كان (c_ {1} ) و (c_ {2} ) ثوابت إذاً [B_ {i} (c_ {1} y_ {1} + c_ {2} y_ {2}) = c_ {1} B_ {i} (y_ {1}) + c_ {2} B_ {i} (y_ {2}) ، quad i = 1،2. nonumber ]

Q13.1.2

في تمارين 13.1.2-13.1.7 حل مشكلة القيمة الحدية.

2. (y '- y = x )، (y (0) = - 2 )، (y (1) = 1 )

3. (y '= 2-3x ) ، (y (0) = 0 ) ، (y (1) -y' (1) = 0 )

4. (y '- y = x )، (y (0) + y' (0) = 3 )، (y (1) -y '(1) = 2 )

5. (y '+ 4y = 1 )، (y (0) = 3 )، (y ( pi / 2) + y' ( pi / 2) = - 7 )

6. (y '' - 2y '+ y = 2e ^ {x} ) ، (y (0) -2y' (0) = 3 ) ، (y (1) + y '(1) = 6e )

7. (y '' - 7y '+ 12y = 4e ^ {2x} )، (y (0) + y' (0) = 8 )، (y (1) = - 7e ^ {2 } ) (انظر المثال 13.1.5)

Q13.1.3

8. حدد شرطًا في (F ) بحيث تكون مشكلة القيمة الحدية [y '= F (x)، quad y (0) = 0، quad y (1) -y' (1) = 0 nonumber ] له حل ، وإيجاد كل الحلول.

9.

  1. حدد شرطًا في (a ) و (b ) بحيث تكون مشكلة القيمة الحدية [y '' + y = F (x) ، quad y (a) = 0 ، quad y (b) = 0 tag {A} ] لها حل فريد لكل (F ) مستمر ، وإيجاد الحل بالطريقة المستخدمة لإثبات النظرية 13.1.3
  2. في حالة عدم استيفاء (أ ) و (ب ) للشرط الذي قدمته لـ (أ) ، حدد ضروريًا وكافيًا في (F ) بحيث يكون (أ) لديه حل ، وابحث عن الكل الحلول بالطريقة المستخدمة لإثبات نظرية 13.1.4.

10. اتبع التعليمات الواردة في تمرين 13.1.9 لمشكلة القيمة الحدية [y '' + y = F (x)، quad y (a) = 0، quad y '(b) = 0. nonumber ]

11. اتبع التعليمات الواردة في تمرين 13.1.9 لمشكلة القيمة الحدية [y '' + y = F (x)، quad y '(a) = 0، quad y' (b) = 0. nonumber ]

Q13.1.4

في تمارين 13.1.12-13.1.15 أوجد صيغة لحل مشكلة الحدود بالطريقة المستخدمة لإثبات نظرية 13.1.3. افترض أن (أ <ب ).

12. (y '' - y = F (x) ) ، (y (a) = 0 ) ، (y (b) = 0 )

13. (y '' - y = F (x) ) ، (y (a) = 0 ) ، (y '(b) = 0 )

14. (y '' - y = F (x) ) ، (y '(a) = 0 ) ، (y' ​​(b) = 0 )

15. (y '' - y = F (x) ) ، (y (a) -y '(a) = 0 ) ، (y (b) + y' (b) = 0 )

Q13.1.5

في تمارين 13.1.16-13.1.19 أوجد جميع قيم ( omega ) بحيث يكون لمشكلة الحدود حل فريد ، واعثر على الحل بالطريقة المستخدمة لإثبات النظرية 13.1.3. بالنسبة للقيم الأخرى لـ ( omega ) ، ابحث عن الشروط على (F ) بحيث يكون للمشكلة حل ، وابحث عن جميع الحلول بالطريقة المستخدمة لإثبات النظرية 13.1.4.

16. (y '+ omega ^ {2} y = F (x) )، (y (0) = 0 )، (y ( pi) = 0 )

17. (y '+ omega ^ {2} y = F (x) )، (y (0) = 0 )، (y' ( pi) = 0 )

18. (y '+ omega ^ {2} y = F (x) )، (y' (0) = 0 )، (y ( pi) = 0 )

19. (y '+ omega ^ {2} y = F (x) )، (y' (0) = 0 )، (y '( pi) = 0 )

Q13.1.6

20. لنفترض أن ( {z_ {1}، z_ {2} } ) مجموعة أساسية من حلول ​​(Ly = 0 ). بالنظر إلى أن مشكلة قيمة الحدود المتجانسة [Ly = 0، quad B_ {1} (y) = 0، quad B_ {2} (y) = 0 nonumber ] لها حل غير بديهي ، فقم بالتعبير عن توضيحها من حيث من (z_ {1} ) و (z_ {2} ).

21. إذا كانت مشكلة القيمة الحدية لها حل لكل (F ) مستمر ، فابحث عن وظيفة Green للمشكلة واستخدمها لكتابة صيغة صريحة للحل. خلافًا لذلك ، إذا كانت مشكلة القيمة الحدية لا تحتوي على حل لكل (F ) مستمر ، فابحث عن شرط ضروري وكاف في (F ) للحصول على حل للمشكلة ، وابحث عن جميع الحلول. افترض أن (أ <ب ).

  1. (y '= F (x) ) ، (y (a) = 0 ) ، (y (b) = 0 )
  2. (y '= F (x) ) ، (y (a) = 0 ) ، (y' (b) = 0 )
  3. (y '= F (x) ) ، (y' (a) = 0 ) ، (y (b) = 0 )
  4. (y '= F (x) ) ، (y' (a) = 0 ) ، (y '(b) = 0 )

22. أوجد دالة Green لمشكلة القيمة الحدية [y '' = F (x)، quad y (0) -2y '(0) = 0، quad y (1) + 2y' (1) = 0. tag {A} ] ثم استخدم وظيفة Green لحل (A) باستخدام

  1. (و (س) = 1 ) ،
  2. (F (x) = x ) و
  3. (F (x) = x ^ {2} ).

23. أوجد دالة Green لمشكلة القيمة الحدية [x ^ {2} y '' + xy '+ (x ^ {2} -1/4) y = F (x)، quad y ( pi / 2) = 0، quad y ( pi) = 0، tag {A} ] بالنظر إلى أن [y_ {1} (x) = frac { cos x} { sqrt {x}} quad text {and} quad y_ {2} (x) = frac { sin x} { sqrt {x}} nonumber ] حلول للمعادلة التكميلية. ثم استخدم وظيفة Green لحل (A) باستخدام

  1. (F (x) = x ^ {3/2} ) و
  2. (F (x) = x ^ {5/2} ).

24. أوجد دالة Green لمشكلة القيمة الحدية [x ^ {2} y '- 2xy' + 2y = F (x)، quad y (1) = 0، quad y (2) = 0، tag {A} ] بالنظر إلى أن ( {x، x ^ {2} } ) مجموعة أساسية من حلول المعادلة التكميلية. ثم استخدم وظيفة Green لحل (A) باستخدام

  1. (F (x) = 2x ^ {3} ) و
  2. (F (x) = 6x ^ {4} ).

25. أوجد دالة Green لمشكلة القيمة الحدية [x ^ {2} y '' + xy'-y = F (x)، quad y (1) -2y '(1) = 0، quad y '(2) = 0، tag {A} ] بالنظر إلى أن ( {x، 1 / ​​x } ) هي مجموعة أساسية من حلول المعادلة التكميلية. ثم استخدم وظيفة Green لحل (A) باستخدام

  1. (و (س) = 1 ) ،
  2. (F (x) = x ^ {2} ) و
  3. (F (x) = x ^ {3} ).

Q13.1.7

في تمارين 13.1.26-13.1.30 اعثر على الشروط الضرورية والكافية في ( alpha، β، ρ )، و (δ ) لمشكلة القيمة الحدية للحصول على حل فريد لكل (F ) مستمر ، وابحث عن وظيفة Green.

26. (y '' = F (x) ) ، ( alpha y (0) + beta y '(0) = 0 ) ، ( rho y (1) + delta y' ( 1) = 0 )

27. (y '' + y = F (x) )، ( alpha y (0) + beta y '(0) = 0 )، ( rho y ( pi) + delta ص '( بي) = 0 )

28. (y '' + y = F (x) ) ( alpha y (0) + beta y '(0) = 0 )، ( rho y ( pi / 2) + دلتا y '( pi / 2) = 0 )

29. (y '' - 2y '+ 2y = F (x) )، ( alpha y (0) + beta y' (0) = 0 )، ( rho y ( pi) + دلتا ص '( بي) = 0 )

30. (y '' - 2y '+ 2y = F (x) )، ( alpha y (0) + beta y' (0) = 0 )، ( rho y ( pi / 2) + دلتا y '( pi / 2) = 0 )

Q13.1.8

31. ابحث عن الشروط الضرورية والكافية في ( alpha ) ، ( beta ) ، ( rho ) ، و ( delta ) لمشكلة القيمة الحدية [y '' - y = F (x)، quad alpha y (a) + beta y '(a) = 0، quad rho y (b) + delta y' (b) = 0 tag {A} ] حل فريد لكل (F ) مستمر ، وابحث عن وظيفة Green لـ (A). افترض أن (أ <ب ).

32. أظهر أن افتراضات النظرية 13.1.3 تدل على أن الحل الفريد لـ [Ly = F، quad B_ {1} (y) = k_ {1}، quad B_ {2} (y) = f_ { 2} nonumber ] هو [y = int_ {a} ^ {b} G (x، t) F (t) ، dt + frac {k_ {2}} {B_ {2}} (y_ {1}) y_ {1} + frac {k_ {1}} {B_ {1} (y_ {2})} y_ {2}. nonumber ]


13.1 هـ: مسائل القيمة الحدية (تمارين) - الرياضيات

حسنًا ، لقد حان الوقت أخيرًا لحل معادلة تفاضلية جزئية تمامًا. في القسم السابق طبقنا فصل المتغيرات على عدة معادلات تفاضلية جزئية واختزلنا المشكلة إلى الحاجة إلى حل معادلتين تفاضليتين عاديتين. في هذا القسم ، سنحل هذه المعادلات التفاضلية العادية ونستخدم النتائج للحصول على حل للمعادلة التفاضلية الجزئية. سنركز على معادلة الحرارة في هذا القسم وسنقوم بمعادلة الموجة ومعادلة لابلاس في أقسام لاحقة.

ستكون المشكلة الأولى التي سننظر فيها هي توزيع درجة الحرارة في شريط به حدود درجة حرارة صفرية. سنقوم بالعمل في خطوتين حتى نأخذ وقتنا ونرى كيف يعمل كل شيء.

أول شيء يتعين علينا القيام به هو إيجاد حل يلبي المعادلة التفاضلية الجزئية وشروط الحدود. في هذه المرحلة ، لن نقلق بشأن الحالة الأولية. الحل الذي سنحصل عليه أولاً لن يلبي الغالبية العظمى من الشروط الأولية ولكن كما سنرى أنه يمكن استخدامه لإيجاد حل يلبي شرطًا أوليًا لطيفًا بدرجة كافية.

حسنًا ، أول شيء علينا فعله تقنيًا هنا هو تطبيق فصل المتغيرات. على الرغم من أننا فعلنا ذلك في القسم السابق ، فلنلخص هنا ما فعلناه.

أولاً ، نفترض أن الحل سيأخذ الشكل ،

[ش اليسار( right) = varphi left (x right) G left (t right) ]

ونعوض بهذا في المعادلة التفاضلية الجزئية والشروط الحدية. نفصل المعادلة للحصول على دالة (t ) فقط على جانب واحد ودالة (س ) فقط على الجانب الآخر ثم إدخال ثابت الفصل. هذا يترك لنا معادلتين تفاضليتين عاديتين.

لقد فعلنا كل هذا في المثال 1 من القسم السابق والمعادلتان التفاضليتان العاديتان هما ،

يمكن حل المعادلة التي تعتمد على الوقت حقًا في أي وقت ، ولكن نظرًا لأننا لا نعرف ما هو ( lambda ) حتى الآن ، فلنتوقف عن ذلك. لاحظ أيضًا أنه في العديد من المشكلات فقط يمكن حل مشكلة القيمة الحدية في هذه المرحلة ، لذلك لا تتوقع دائمًا أن تتمكن من حل أي منهما في هذه المرحلة.

المعادلة المكانية هي مشكلة قيمة حدية ونعلم من عملنا في الفصل السابق أنه سيكون لها فقط حلول غير تافهة (التي نريدها) لقيم معينة من ( lambda ) ، والتي سنتذكر أنها تسمى القيم الذاتية. بمجرد أن نحصل على هؤلاء ، يمكننا تحديد الحلول غير التافهة لكل ( lambda ) ، بمعنى آخر. وظائف eigenfunctions.

الآن ، لقد حللنا بالفعل المشكلة المكانية ،

في المثال 1 من قسم القيم الذاتية والوظائف الذاتية من الفصل السابق لـ (L = 2 pi ). لذلك ، نظرًا لأننا حللنا هذا مرة واحدة من أجل (L ) محدد ولا يختلف العمل كثيرًا عن عام (L ) فلن نضع الكثير من الشرح هنا وإذا تحتاج إلى تذكير حول كيفية عمل شيء ما أو لماذا فعلنا شيئًا ما ، ارجع إلى المثال 1 من قسم القيم الذاتية والوظائف الذاتية للتذكير.

لدينا ثلاث قضايا للتعامل معها ، فلنبدأ.

(تسطير < lambda & gt 0> )
في هذه الحالة نعلم أن حل المعادلة التفاضلية هو ،

يعطي تطبيق شرط الحدود الأول ،

الآن بتطبيق شرط الحد الثاني ، واستخدام النتيجة أعلاه بالطبع ، يعطي ،

[0 = varphi left (L right) = الخطيئة اليسار ( حق)]

الآن ، نحن نبحث عن حلول غير تافهة ، وهذا يعني أنه يجب أن يكون لدينا ،

[ الخطيئة اليسار ( right) = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> L sqrt lambda = n pi hspace <0.25in> n = 1،2،3، ldots ]

قيم eigenvalues ​​الموجبة ووظائفها الذاتية المقابلة لمشكلة القيمة الحدية هي ،

لاحظ أننا لسنا بحاجة إلى () في دالة eigen حيث سيتم امتصاصها في ثابت آخر سنلتقطه لاحقًا.

( تسطير < لامدا = 0> )
حل المعادلة التفاضلية في هذه الحالة هو ،

تطبيق شروط الحدود يعطي ،

[0 = varphi left (0 right) = hspace <0.25in> 0 = varphi left (L right) = L hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> = 0]

لذلك ، في هذه الحالة ، الحل الوحيد هو الحل التافه ، وبالتالي فإن ( lambda = 0 ) ليست قيمة ذاتية لمشكلة القيمة الحدية هذه.

(تسطير < لامدا & lt 0> )
هنا حل المعادلة التفاضلية ،

يعطي تطبيق شرط الحدود الأول ،

وتطبيق الثاني يعطي ،

[0 = varphi left (L right) = sinh اليسار ( > حق) ]

لذلك ، نحن نفترض ( lambda & lt 0 ) وهكذا (L sqrt <- lambda> ne 0 ) وهذا يعني ( sinh left ( > right) ne 0 ). لذلك يجب أن يكون لدينا ( = 0 ) ولذا يمكننا فقط الحصول على الحل البسيط في هذه الحالة.

لذلك ، لن تكون هناك قيم ذاتية سالبة لمشكلة القيمة الحدية هذه.

القائمة الكاملة لقيم eigenvalues ​​و eigenfunctions لهذه المشكلة هي إذن ،

الآن دعونا نحل المعادلة التفاضلية الزمنية ،

ولاحظ أنه على الرغم من أننا نعرف الآن ( lambda ) ، فإننا لن نقوم بتوصيله بعد لتقليل الفوضى إلى الحد الأدنى. ومع ذلك ، سنستخدم الآن (< lambda _n> ) لتذكيرنا بأن لدينا بالفعل عددًا لا نهائيًا من القيم الممكنة هنا.

هذه معادلة خطية بسيطة (وقابلة للفصل لهذه المسألة) معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى ، لذا سنسمح لك بالتحقق من أن الحل هو ،

حسنًا ، الآن بعد أن حصلنا على حل المعادلتين التفاضليتين العاديتين ، يمكننا أخيرًا كتابة الحل. لاحظ مع ذلك أننا وجدنا في الواقع عددًا لا نهائيًا من الحلول نظرًا لوجود عدد لا نهائي من الحلول (بمعنى آخر. وظائف eigenfunctions) للمشكلة المكانية.

بعد ذلك ، يكون حل منتجنا ،

لقد أشرنا إلى حل المنتج () للإقرار بأن كل قيمة من (n ) ستؤدي إلى حل مختلف. لاحظ أيضًا أننا قمنا بتغيير (c ) في حل مشكلة الوقت إلى () للإشارة إلى حقيقة أنه من المحتمل أن تكون مختلفة لكل قيمة من (n ) أيضًا ولأننا احتفظنا بـ () مع الدالة الذاتية ، كنا سنستوعبها في (ج ) للحصول على ثابت واحد في حلنا.

لذا ، ها نحن ذا. سوف تفي الوظيفة المذكورة أعلاه بمعادلة الحرارة والشرط الحدي لدرجة الحرارة الصفرية في نهايات الشريط.

تكمن مشكلة هذا الحل في أنه ببساطة لن يفي بكل حالة أولية محتملة قد نرغب في استخدامها. ومع ذلك ، لا يعني ذلك أنه ليس هناك على الأقل القليل الذي يرضي كما يوضح المثال التالي.

  1. (displaystyle f left (x right) = 6 sin left (>> حق) )
  2. (displaystyle f left (x right) = 12 sin left (>> right) - 7 sin left (< frac << 4 pi x >>> حق) )

هذا في الواقع أسهل مما يبدو. كل ما علينا فعله هو اختيار (n = 1 ) و ( = 6 ) في حل المنتج أعلاه للحصول على ،

ولدينا الحل الذي نحتاجه. هذا هو حل المنتج للمثال الأول وبالتالي يلبي المعادلة التفاضلية الجزئية وشروط الحدود وسوف يفي بالشرط الأولي لأن التوصيل (t = 0 ) سيؤدي إلى استبعاد الأسي.

هذا يكاد يكون بسيطًا مثل الجزء الأول. تذكر من مبدأ التراكب أنه إذا كان لدينا حلان لمعادلة تفاضلية خطية متجانسة (التي حصلنا عليها هنا) ، فإن مجموعهما يكون أيضًا حلاً. لذا ، كل ما علينا فعله هو اختيار (n ) و () كما فعلنا في الجزء الأول للحصول على حل يلبي كل جزء من الشرط الأولي ثم نجمعها. القيام بهذا يعطي ،

سنترك الأمر لك للتحقق من أن هذا في الواقع يفي بالشرط الأولي وشروط الحدود.

لذلك ، رأينا أن حلنا من المثال الأول سيلبي على الأقل عددًا صغيرًا من الشروط الأولية المحددة للغاية.

الآن ، دعنا نوسع الفكرة التي استخدمناها في الجزء الثاني من المثال السابق قليلاً لنرى كيف يمكننا الحصول على حل يلبي أي شرط أولي جيد بما فيه الكفاية. لا يقتصر مبدأ التراكب بالطبع على حلين فقط. على سبيل المثال ، ما يلي هو أيضًا حل للمعادلة التفاضلية الجزئية.

ولاحظ أن هذا الحل لن يفي فقط بشروط الحدود ولكنه سيلبي أيضًا الشرط الأولي ،

دعنا نوسع هذا إلى أبعد من ذلك ونأخذ الحد كـ (M to infty ). عند القيام بذلك ، يصبح حلنا الآن ،

هذا الحل يفي بأي شرط مبدئي يمكن كتابته في النموذج ،

[ش اليسار( يمين) = و يسار (س يمين) = مجموع حدود_^ infty < sin left (< frac <>> يمين)> ]

قد يبدو هذا مقيدًا للغاية ، لكن المسلسل الموجود على اليمين يجب أن يبدو مألوفًا بالنسبة لك بعد الفصل السابق. السلسلة على اليسار هي بالضبط سلسلة فورييه جيبية التي نظرنا إليها في ذلك الفصل. تذكر أيضًا أنه عندما نتمكن من تدوين سلسلة جيب فورييه لأي دالة سلسة متعددة التعريفات على (0 le x le L ).

لذلك ، بشرط أن يكون الشرط الأولي سلسًا بعد تطبيق الشرط الأولي على حلنا ، يمكننا تحديد () كما لو كنا نجد سلسلة فورييه للشرط الأولي. لذلك يمكننا إما المضي قدمًا كما فعلنا في هذا القسم واستخدام تعامد الجيب لاشتقاقها أو يمكننا أن نعترف بأننا قد أنجزنا هذا العمل بالفعل ونعلم أن المعاملات يتم تقديمها من خلال ،

إذن ، يمكننا أخيرًا حل معادلة تفاضلية جزئية تمامًا.

ليس هناك الكثير لنفعله هنا كما فعلنا معظمه في الأمثلة والمناقشة أعلاه.

يتم إعطاء المعاملات بواسطة ،

إذا عوضنا بها ، فسنحصل على الحل ،

هذا يبدو تقريبا معاد للذروة. كانت هذه مشكلة قصيرة جدا. بالطبع ، حدث بعض ذلك لأن لدينا شرطًا أوليًا ثابتًا بسيطًا حقًا وبالتالي كان التكامل بسيطًا جدًا. ومع ذلك ، لا تنسَ كل العمل الذي كان علينا القيام به في مناقشة سلسلة فورييه الجيبية ، وحل مشاكل القيمة الحدية ، وتطبيق فصل المتغيرات ، ثم وضع كل ذلك معًا للوصول إلى هذه النقطة.

في حين أن المثال نفسه كان بسيطًا جدًا ، إلا أنه كان بسيطًا فقط بسبب كل العمل الذي كان علينا أن نضعه في تطوير الأفكار التي سمحت لنا حتى بالقيام بذلك. نظرًا لمدى "بساطة" الحصول على هذه الحلول فعليًا ، لن نتمكن من فعل ذلك بعد الآن بشروط أولية محددة. بدلاً من ذلك ، سنركز على مجرد تطوير الصيغ التي سنطلب منا تقييمها من أجل الحصول على حل فعلي.

بعد قولي هذا ، دعنا ننتقل إلى المثال التالي. في هذه الحالة ، سننظر مرة أخرى في توزيع درجة الحرارة في شريط ذو حدود معزولة تمامًا. كما أننا لم نعد نمضي في خطوات. سنفعل الحل الكامل كمثال واحد وننتهي بحل يلبي أي شرط أولي سلس متعدد التعريف.

قمنا بتطبيق فصل المتغيرات على هذه المشكلة في المثال 2 من القسم السابق. لذلك ، بعد افتراض أن الحل في الصورة ،

[ش اليسار( right) = varphi left (x right) G left (t right) ]

وتطبيق فصل المتغيرات نحصل على المعادلتين التفاضليتين العاديتين التاليتين اللتين نحتاج إلى حلهما.

لقد حللنا مشكلة القيمة الحدية في المثال 2 من قسم القيم الذاتية والوظائف الذاتية من الفصل السابق لـ (L = 2 pi ) لذا كما هو الحال مع المثال الأول في هذا القسم ، لن نضع الكثير من الشرح في العمل هنا. إذا كنت بحاجة إلى تذكير حول كيفية عمل ذلك ، فارجع إلى الفصل السابق وراجع المثال الذي عملنا فيه. دعونا نبدأ في الحالات الثلاث التي يجب أن نعمل من أجلها من أجل هذه المشكلة.

(تسطير < lambda & gt 0> )
حل المعادلة التفاضلية هو ،

يعطي تطبيق شرط الحدود الأول ،

[0 = فارك <><> يسار (0 يمين) = sqrt lambda ، hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> = 0]

يعطي شرط الحدود الثاني ،

تذكر ذلك ( lambda & gt 0 ) ولذا سنحصل على حلول غير تافهة فقط إذا طلبنا ذلك ،

[ الخطيئة اليسار ( right) = 0 hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> L sqrt lambda = n pi hspace <0.25in> n = 1،2،3، ldots ]

قيم eigenvalues ​​الموجبة ووظائفها الذاتية المقابلة لمشكلة القيمة الحدية هي ،

( تسطير < لامدا = 0> )
الحل العام هو

يعطي تطبيق شرط الحدود الأول ،

باستخدام هذا الحل العام إذن ،

ولاحظ أن هذا سوف يفي بشكل تافه بشرط الحد الثاني. لذلك ( lambda = 0 ) هي قيمة ذاتية لـ BVP هذا والوظائف الذاتية المقابلة لهذه القيمة الذاتية هي ،

(تسطير < لامدا & lt 0> )
الحل العام هنا ،

يعطي تطبيق شرط الحدود الأول ،

يعطي شرط الحدود الثاني ،

نعلم أن (L sqrt <- lambda> ne 0 ) وهكذا ( sinh left ( > right) ne 0 ). لذلك ، يجب أن يكون لدينا ( = 0 ) وهكذا ، لن يكون لمشكلة القيمة الحدية هذه قيم ذاتية سالبة.

إذن ، القائمة الكاملة لقيم eigenvalues ​​و eigenfunctions لهذه المشكلة هي إذن ،

ولاحظ أننا حصلنا على (< lambda _ <، 0 >> = 0 ) القيمة الذاتية ووظيفتها الذاتية إذا سمحنا (n = 0 ) في المجموعة الأولى ولذا سنستخدم ما يلي مجموعة من القيم الذاتية والوظائف الذاتية.

مشكلة الوقت هنا مطابقة للمشكلة الأولى التي نظرنا إليها ،

ستكون حلول منتجاتنا بعد ذلك ،

والحل لهذه المعادلة التفاضلية الجزئية هو ،

إذا طبقنا الشرط الأولي على هذا نحصل عليه ،

[ش اليسار( يمين) = و يسار (س يمين) = مجموع حدود_^ infty < cos يسار (< frac <>> يمين)> ]

ويمكننا أن نرى أن هذا ليس أكثر من سلسلة Fourier cosine لـ (f left (x right) ) في (0 le x le L ) وهكذا يمكننا مرة أخرى استخدام تعامد جيب التمام لاشتقاق المعاملات أو يمكننا أن نتذكر أننا فعلنا ذلك بالفعل في الفصل السابق ونعلم أن المعاملات مُعطاة بواسطة ،

يختلف المثال الأخير الذي سنعمل فيه في هذا القسم قليلاً عن المثالين الأولين. سننظر في توزيع درجة الحرارة في حلقة دائرية رفيعة. سنعتبر الأسطح الجانبية معزولة تمامًا وسنفترض أيضًا أن الحلقة رفيعة بدرجة كافية بحيث لا تختلف درجة الحرارة باختلاف المسافة من مركز الحلقة.

إذن ، ماذا يترك لنا ذلك؟ دعنا نضبط (x = 0 ) كما هو موضح أدناه ثم دعونا (x ) يكون طول قوس الحلقة كما تم قياسه من هذه النقطة.

سنقيس (س ) كإيجابي إذا انتقلنا إلى اليمين والسالب إذا انتقلنا إلى يسار (س = 0 ). هذا يعني أننا سنلتقي في الجزء العلوي من الحلقة حيث (x = L ) (إذا انتقلنا إلى اليمين) و (x = - L ) (إذا انتقلنا إلى اليسار). من خلال القيام بذلك ، يمكننا اعتبار هذه الحلقة شريطًا بطول 2 (L ) وستظل معادلة الحرارة التي طورناها سابقًا في هذا الفصل سارية.

عند نقطة الحلبة نعتبر أن "النهايتين" موجودة اتصال حراري مثالي. هذا يعني أنه عند الطرفين يجب أن تكون درجة الحرارة وتدفق الحرارة متساويين. بمعنى آخر ، يجب أن يكون لدينا ،

إذا كنت تتذكر من القسم الذي استنتجنا فيه معادلة الحرارة ، فقد أطلقنا عليها شروط الحدود الدورية. إذن ، المشكلة التي نحتاج إلى حلها للحصول على توزيع درجة الحرارة في هذه الحالة هي ،

قمنا بتطبيق فصل المتغيرات على هذه المشكلة في المثال 3 من القسم السابق. لذا ، إذا افترضنا أن الحل بالصيغة ،

[ش اليسار( right) = varphi left (x right) G left (t right) ]

نحصل على المعادلتين التفاضليتين العاديتين التاليتين اللتين نحتاج إلى حلهما.

كما رأينا في المشكلتين السابقتين ، فقد حللنا بالفعل مشكلة قيمة حدية مثل هذه مرة أخرى في قسم القيم الذاتية والوظائف الذاتية في الفصل السابق ، المثال 3 ليكون دقيقًا مع (L = pi ). لذا ، إذا كنت بحاجة إلى مزيد من التوضيح لما يحدث هنا ، فارجع إلى هذا المثال ويمكنك رؤية المزيد من الشرح.

مرة أخرى لدينا ثلاث حالات للتعامل معها هنا.

(تسطير < lambda & gt 0> )
الحل العام للمعادلة التفاضلية هو ،

تطبيق شرط الحد الأول والتذكير بأن جيب التمام هو دالة زوجية وأن الجيب هو دالة فردية يعطينا ،

في هذه المرحلة لا يمكننا حقًا قول أي شيء على هذا النحو () أو يمكن أن تكون الجيب صفرًا. لذلك ، دعونا نطبق شرط الحد الثاني ونرى ما نحصل عليه.

[يبدأ - sqrt lambda ، الخطيئة اليسار (<- ل مربع لامدا> يمين) + مربع لامدا ، cos يسار (<- L sqrt lambda> right) & = - sqrt lambda ، الخطيئة اليسار ( يمين) + sqrt lambda ، cos اليسار ( يمين) sqrt لامدا ، الخطيئة اليسار ( right) & = - sqrt lambda ، الخطيئة اليسار ( يمين) 2 مربع لامدا ، الخطيئة اليسار ( حق) & = 0 نهاية]

نحصل على شيء مشابه. ومع ذلك ، لاحظ أنه إذا ( sin left ( right) ne 0 ) فسنضطر إلى الحصول على ( = = 0 ) وهذا من شأنه أن يعطينا الحل التافه الذي لا نريده.

هذا يعني بالتالي أنه يجب أن يكون لدينا ( sin left ( right) = 0 ) وهذا بدوره يعني (من العمل في الأمثلة السابقة) أن القيم الذاتية الإيجابية لهذه المشكلة هي ،

الآن ، لا يوجد سبب للاعتقاد بأن ( = 0 ) أو ( = 0 ). كل ما نعرفه هو أنهما لا يمكن أن يكونا صفرًا ، وهذا يعني أننا في الواقع لدينا مجموعتان من الدوال الذاتية لهذه المشكلة تقابلان قيم ذاتية موجبة. هم انهم،

( تسطير < لامدا = 0> )
الحل العام في هذه الحالة هو

يعطي تطبيق شرط الحدود الأول ،

الحل العام إذن ،

وهذا سوف يفي بشكل تافه بشرط الحدود الثاني. لذلك ( lambda = 0 ) هي قيمة ذاتية لـ BVP هذا والوظائف الذاتية المقابلة لهذه القيمة الذاتية هي ،

(تسطير < لامدا & lt 0> )
بالنسبة لهذه الحالة النهائية ، الحل العام هنا هو ،

تطبيق شرط الحدود الأول واستخدام حقيقة أن جيب التمام الزائدي زوجي وأن الجيب الزائدي هو أمر غريب ،

الآن ، في هذه الحالة نفترض أن ( lambda & lt 0 ) وهكذا (L sqrt <- lambda> ne 0 ). يخبرنا هذا المنعطف أن ( sinh left ( > right) ne 0 ). لذلك يجب أن يكون لدينا ( = 0).

دعنا الآن نطبق شرط الحد الثاني للحصول على ،

من خلال افتراضنا في ( lambda ) مرة أخرى ، ليس لدينا خيار هنا سوى أن يكون لدينا ( = 0 ) وبالتالي لا توجد قيم ذاتية سالبة لمشكلة القيمة الحدية.

تلخيصًا لذلك ، لدينا المجموعات التالية من القيم الذاتية والوظائف الذاتية ولاحظ أننا دمجنا حالة ( lambda = 0 ) في حالة جيب التمام حيث يمكن أن تكون هنا لتبسيط الأمور قليلاً.

مشكلة الوقت مطابقة مرة أخرى لمشكلتي المشكلة اللتين عملناهما هنا بالفعل ، لذا فقد عملنا ،

الآن ، هذا المثال مختلف قليلاً عن مشكلتي الحرارة السابقتين اللتين نظرنا إليهما. في هذه الحالة ، لدينا في الواقع حلين مختلفين للمنتج يفيان بالمعادلة التفاضلية الجزئية وشروط الحدود. هم انهم،

لا يزال مبدأ التراكب ساريًا ، وبالتالي فإن مجموع أي منها سيكون أيضًا حلاً ، وبالتالي فإن حل هذه المعادلة التفاضلية الجزئية هو ،

إذا طبقنا الشرط الأولي على هذا نحصل عليه ،

[ش اليسار( يمين) = و يسار (س يمين) = مجموع حدود_^ infty < cos يسار (< frac <>> حق)> + sum limits_^ infty < sin left (< frac <>> يمين)> ]

وكما رأينا في المثالين السابقين نحصل على سلسلة فورييه. الاختلاف هذه المرة هو أننا حصلنا على سلسلة فورييه الكاملة لشرط أولي سلس متعدد التعريف على (- L le x le L ). كما لوحظ في المثالين السابقين ، يمكننا إما إعادة صياغة الصيغ للمعاملات باستخدام تعامد الجيب وجيب التمام أو يمكننا تذكر العمل الذي قمنا به بالفعل. لا يوجد سبب حقيقي في هذه المرحلة لإعادة العمل الذي تم إجراؤه بالفعل ، لذا يتم إعطاء المعاملات من خلال ،

لاحظ أن هذا هو سبب إعداد (x ) كما فعلنا في بداية هذه المشكلة. تحتاج سلسلة فورييه الكاملة إلى فاصل زمني (- L le x le L ) بينما تحتاج سلسلة Fourier الجيب وجيب التمام التي رأيناها في أول مشكلتين إلى (0 le x le L ).

حسنًا ، لقد رأينا الآن حل ثلاث مشاكل في معادلة الحرارة ، لذا سنغادر هذا القسم. قد ترغب في إجراء الحالتين حيث لدينا درجة حرارة صفرية على أحد الحدود وحدود معزولة تمامًا على الأخرى لمعرفة ما إذا كنت قد انتهيت من هذه العملية.


اسمحوا أن يكون أي مقياس زمني مثل أن تكون مجموعة فرعية من. يمكن لمفهوم المعادلات الديناميكية على المقاييس الزمنية بناء الجسور بين المعادلات التفاضلية والفرق. لا يمنحنا هذا المفهوم نهجًا موحدًا لدراسة مشاكل القيمة الحدودية على فترات متقطعة مع حجم خطوة موحد وفترات زمنية حقيقية ، ولكنه يعطي أيضًا نهجًا ممتدًا للدراسة في حالة منفصلة مع حجم خطوة غير موحد أو مجموعة من الفواصل الزمنية الحقيقية والمنفصلة. يمكن العثور على بعض التعاريف والنظريات الأساسية للمقاييس الزمنية في [1 ، 2].

في هذا البحث ، ندرس وجود حلول إيجابية لمشكلة القيمة الحدية غير الخطية التالية ذات الأربع نقاط باستخدام عامل التشغيل a -Laplacian:

أين عامل التشغيل ، أي ، من أجل ، أين ، ، مع:

الوظيفة ولا تختفي بشكل متماثل في أي فترة فرعية مغلقة لـ و ،

مستمر ويرضي وجود مثل هذا ل.

في السنوات الأخيرة ، حظي وجود حلول إيجابية لمشكلات القيمة الحدية غير الخطية مع - لابلاكسان باهتمام واسع ، لأنه أدى إلى العديد من التطبيقات الرياضية والفيزيائية الهامة [3 ، 4]. على وجه الخصوص ، من أجل أو خطي ، تم الحصول على وجود حلول إيجابية لمشكلات قيمة الحدود المفردة غير الخطية [5 ، 6]. - مشاكل لابلاسيا مع اثنين ، وثلاثة ، و متمت دراسة شروط حد النقطة للمعادلات التفاضلية العادية ومعادلات الفرق في [7-9] والمراجع الواردة فيها. في الآونة الأخيرة ، هناك اهتمام كبير بمسألة الحلول الإيجابية لمشاكل القيمة الحدية للمعادلات الديناميكية من الدرجة الثانية على المقاييس الزمنية ، انظر [10-13]. على وجه الخصوص ، نود أن نذكر بعض نتائج Agarwal و O'Regan [14] و Chyan و Henderson [5] و Song and Weng [15] و Sun and Li [16] و Liu [17] ، والتي تحفزنا للنظر في مشكلة قيمة حدود لابلاسيا على المقاييس الزمنية.

الهدف من هذه الورقة هو وضع بعض المعايير البسيطة لوجود حلول إيجابية لـ -Laplacian BVP (1.1) - (1.2). ويتم تنظيم هذه الورقة على النحو التالي. في القسم 2 ، نقدم أولاً الحل وبعض خصائص محلول Laplacian BVP الخطي المقابل لـ (1.1) - (1.2). وبالتالي نحدد فضاء Banach والمخروط والعامل المتكامل لإثبات وجود حل (1.1) - (1.2). في القسم 3 ، حددنا نظريات النقطة الثابتة لإثبات النتائج الرئيسية وحصلنا على وجود حل واحد أو حلين موجبين على الأقل للحل اللاخطي -Laplacian BVP (1.1) - (1.2). أخيرًا ، باستخدام طريقة أحادية اللون ، أثبتنا وجود حلول لـ -Laplacian BVP في القسم 4.


أدولفسون الخامس: إل 2- قابلية تكامل المشتقات من الدرجة الثانية لمعادلة بواسون في المجالات غير الملساء. رياضيات. سكاند. 70, 146–160 (1992)

Agmon S.، Douglis A.، Nirenberg L.: تقديرات بالقرب من حدود حلول المعادلات التفاضلية الجزئية التي تفي بشروط الحدود العامة ، I. Commun. تطبيق نقي. رياضيات. 12, 623–727 (1959)

Babuška، I: Stabilität des Definitionsgebietes mit Rücksicht auf grundlegende Probleme der Theorie der partiellen differentialgleichungen auch im Zusammenhang mit der Elastizitätstheorie. الأول والثاني. التشيكية. رياضيات. ج. 11(86), 76–105, 165–203 (1961)

Berchio E.، Gazzola F.، Mitidieri E.: خاصية الحفاظ على الإيجابية لفئة من المشاكل الإهليلجية الحيوية. J. تختلف. إكوا. 229, 1–23 (2006)

Berchio E.، Gazzola F.، Weth T: Critical Growth biharmonic elliptic problems under Steklov-type border border. حال. اختلف. إكوا. 12, 381–406 (2007)

Bucur D.، Buttazzo G: الأساليب المتغيرة في مشاكل تحسين الشكل. التقدم في المعادلات التفاضلية غير الخطية وتطبيقاتها ، المجلد. 65- بيرخاوسر بوسطن ، بوسطن (2005)

Faber، G: Beweis، dass unter allen homogenen membranen von gleicher fläche und gleicher spannung die kreisförmige den tiefsten grundton gibt. سيتز. بير. باير. العقاد. ويس. 169-172 (1923)

Ferrero A.، Gazzola F.، Weth T: على مسألة Steklov eigenvalue من الدرجة الرابعة. التحليلات 25, 315–332 (2005)

Fichera G: Su un Principio di dualità per talune formole di maggiorazione النسبي عن طريق equazioni differentenziali. عطي عقاد. ناز. لينسي 19, 411–418 (1955)

Gazzola F.، Sweers G: حول الإيجابية لمشغل biharmonic في ظل ظروف Steklov الحدودية. قوس. جرذ. ميكانيكي. شرجي. 188, 399–427 (2008)

Jerison D.S.، Kenig CE: The Neumann problem on Lipschitz domains. ثور. أكون. رياضيات. شركة 4, 203–207 (1981)

Jerison D.S.، Kenig CE: مشاكل قيمة الحدود في مجالات Lipschitz. عشيق. جزء. اختلف. إكوا. 23, 1–68 (1982)

Krahn E .: Über eine von Rayleigh formulierte minimaleigenschaft des kreises. رياضيات. آن. 94, 97–100 (1925)

Krahn E: Über minimaleigenschaften der kugel in drei und mehr Dimen. اكتا كومون. جامعة. دوربات. أ 9, 1–44 (1926)

Kuttler JR: ملاحظات حول مشكلة Stekloff eigenvalue. سيام ج. نومر. شرجي. 9, 1–5 (1972)

Kuttler JR: Dirichlet eigenvalues. سيام ج. نومر. شرجي. 16, 332–338 (1979)

Kuttler J.R. ، Sigillito V.G: عدم المساواة في الغشاء وقيم Stekloff eigenvalues. J. الرياضيات. شرجي. تطبيق 23, 148–160 (1968)

Kuttler ، JR ، Sigillito ، VG: تقدير القيم الذاتية مع عدم المساواة اللاحقة / المسبقة. ملاحظات بحثية في الرياضيات ، برنامج بيتمان للنشر المتقدم (1985)

Nazarov S.A.، Sweers G: معادلة لوحة مفصلية وعامل Dirichlet Laplace المتكرر على المجالات ذات الزوايا المقعرة. J. ديف. مكافئ. 233, 151–180 (2007)

نيكاس ، ي.: Les méthodes directes en théorie des équations elliptiques، Masson et ج بمعنى آخر محررون ، باريس (1967)

باين ل.إي: بعض التفاوتات المتساوية للوظائف التوافقية. SIAM J. Math. شرجي. 1, 354–359 (1970)

Simon J: التمايز فيما يتعلق بالمجال في مسائل القيمة الحدية. رقم. Funct. شرجي. الأمثل. 2, 649–687 (1980)

سميث ج: نهج المعادلة المزدوجة للحل العددي للمعادلة بيهارمونيك بالاختلافات المحدودة ، I. SIAM J. Numer. شرجي. 5, 323–339 (1968)

Smith J.: The coupled equation approach to the numerical solution of the biharmonic equation by finite differences, II. SIAM J. Numer. Anal. 7, 104–111 (1970)

Stekloff W.: Sur les problèmes fondamentaux de la physique mathématique. Ann. Sci. Ecol. Norm. Sup. 19, 455–490 (1902)


Bai Z, Lü H (2005) Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation. J Math Anal Appl 311:495–505

Cabada A, Hamdi Z (2014) Nonlinear fractional differential equations with integral boundary value conditions. Appl Math Comput 228:251–257

Cabada A, Wang G (2012) Positive solutions of nonlinear fractional differential equations with integral boundary value conditions. J Math Anal Appl 389:403–411

Cabada A, Dimitrijevic S, Tomovic T, Alecsic S (2017) The existence of a positive solution for nonlinear fractional differential equations with integral boundary value conditions. Math Methods Appl Sci 40:1880–1891

Diethelm K, Freed AD (1999) On the solution of nonlinear fractional order differential equations used in the modeling of viscoplasticity. In: Keil F, Mackens W, Voss H, Werther J (eds) Scientific computing in chemical engineering II-computational fluid dynamics, reaction engineering and molecular properties. Springer, Heidelberg, pp 217–224

Feng M, Zhang X, Ge W (2011) New existence results for higher-order nonlinear fractional differential equations with integral boundary conditions. Bound Value Probl 2011:720720

Glöckle WG, Nonnenmacher TF (1995) A fractional calculus approach of self-similar protein dynamics. Biophys J 68:46–53

Heymans N, Podlubny I (2006) Physical interpretation of initial conditions for fractional differential equations with Riemann–Liouville fractional derivatives. Rheol Acta 45(5):765–772

Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ (2006) Theory and Applications of Fractional Differential Equations. North-Holland Mathematics Studies, vol 204. Elsevier Science B.V, Amsterdam

Kiryakova V (1994) Generalized fractional calculus and applications. Pitman research notes in mathematics series, 301. Longman Scientific & Technical, Harlow copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York

Mainardi F (1997) Fractional calculus: some basic problems in continuum and statistical mechanics. In: Carpinteri A, Mainardi F (eds) Fractals and fractional calculus in continuum mechanics. Springer, Wien, pp 291–348

Metzler F, Schick W, Kilian HG, Nonnenmacher TF (1995) Relaxation in filled polymers: a fractional calculus approach. J Chem Phys 103:7180–7186

Miller KS, Ross B (1993) An introduction to the fractional calculus and differential equations. Wiley, New York

Nieto JJ, Pimentel J (2013) Positive solutions of a fractional thermostat model. Bound Value Probl 2013:5

Podlubny I (1999) Fractional differential equations. Academic Press, San Diego

Podlubny I (2002) Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation. Fract Calc Appl Anal 5:367–386

Salem HAH (2011) Fractional order boundary value problem with integral boundary conditions involving Pettis integral. Acta Math Sci Ser B (Engl. Ed.) 31(2):661–672

Samko SG, Kilbas AA, Marichev OI (1993) Fractional integrals and derivatives. Theory and applications. Gordon and Breach, Yverdon


Boundary Value Problems welcomes submissions to the article collection 'Partial Differential Equations in Applied Sciences'.

All manuscripts should be written to be accessible to a broad scientific audience, who are interested in partial differential equations and their applications in environmental phenomena, physical and engineering sciences. The covered topics include, but are not limited to, initial and boundary value problems, Navier-Stokes theory, minimizers for functionals of double phase with variable exponents, magnetohydrodynamics equations, Lie groups. Papers dealing with mathematical modeling and analysis for traveling waves, Boussinesq equations are welcome.

Deadline for submissions: 31 December 2021


Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple

Partial Differential Equations and Boundary Value Problems with Maple, Second Edition, presents all of the material normally covered in a standard course on partial differential equations, while focusing on the natural union between this material and the powerful computational software, Maple.

The Maple commands are so intuitive and easy to learn, students can learn what they need to know about the software in a matter of hours - an investment that provides substantial returns. Maple's animation capabilities allow students and practitioners to see real-time displays of the solutions of partial differential equations.

This updated edition provides a quick overview of the software w/simple commands needed to get started. It includes review material on linear algebra and Ordinary Differential equations, and their contribution in solving partial differential equations. It also incorporates an early introduction to Sturm-Liouville boundary problems and generalized eigenfunction expansions. Numerous example problems and end of each chapter exercises are provided.

Partial Differential Equations and Boundary Value Problems with Maple, Second Edition, presents all of the material normally covered in a standard course on partial differential equations, while focusing on the natural union between this material and the powerful computational software, Maple.

The Maple commands are so intuitive and easy to learn, students can learn what they need to know about the software in a matter of hours - an investment that provides substantial returns. Maple's animation capabilities allow students and practitioners to see real-time displays of the solutions of partial differential equations.

This updated edition provides a quick overview of the software w/simple commands needed to get started. It includes review material on linear algebra and Ordinary Differential equations, and their contribution in solving partial differential equations. It also incorporates an early introduction to Sturm-Liouville boundary problems and generalized eigenfunction expansions. Numerous example problems and end of each chapter exercises are provided.


13.1E: Boundary Value Problems (Exercises) - Mathematics

> endstream endobj 684 0 obj 625 endobj 685 0 obj > stream 8Z7

Alikhanov, A.A.: On the stability and convergence of nonlocal difference schemes. Differ. Equ. 46(7), 949–961 (2010)

Ashyralyev, A., Aggez, N.: A Note on the difference schemes of the nonlocal boundary value problems for hyperbolic equations. Numerical Functional Analysis and Optimization 25(5–6), 439–462 (2004)

Ashyralyev, A., Gercek, O.: Nonlocal boundary value problems for elliptic-parabolic differential and difference equations. Discrete Dyn. Nat. Soc. 4, 138–144 (2008)

Ashyralyev, A., Gercek, O.: Finite difference method for multipoint nonlocal elliptic-parabolic problems. Comput. Math. Appl. 60(7), 2043–2052 (2010)

Ashyralyev, A., Yurtsever, A.: On a nonlocal boundary value problem for semilinear hyperbolic-parabolic equations. Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 47(5), 3585–3592 (2001)

Gao, G.H., Sun, Z.Z.: Compact difference schemes for heat equation with Neumann boundary conditions (II). Numer. Methods Partial Differ. Equ. 29(5), 1459–1486 (2013)

Gordeziani, D., Avalishvili, G.: Investigation of the nonlocal initial boundary value problems for some hyperbolic equations. Hiroshima Math. J. 31(3), 345–366 (2001)

Gulin, A.V., Morozova, V.A.: On a family of nonlocal difference schemes. Differ. Equ. 45(7), 1020–1033 (2009)

Gulin, A.V., Ionkin, N.I., Morozova, V.A.: Stability of a nonlocal two-dimensional finite-difference problem. Differ. Equ. 37(7), 970–978 (2001)

Gushchin, A.K., Mikhailov, V.P.: On solvability of nonlocal problems for a second-order elliptic equation. Russ. Acad. Sci. Sb. Math. 81(1), 101–136 (1995)

Martin-Vaquero, J., Vigo-Aguiar, J.: A note on efficient techniques for the second-order parabolic equation subject to non-local conditions. Appl. Numer. Math. 59(6), 1258–1264 (2009)

Martin-Vaquero, J., Vigo-Aguiar, J.: On the numerical solution of the heat conduction equations subject to nonlocal conditions. Appl. Numer. Math. 59(10), 2507–2514 (2009)

Sun, Z.Z.: A high-order difference scheme for a nonlocal boundary-value problem for the heat equation. Comput. Methods Appl. Math. 1(4), 398–414 (2001)

Sun, Z.Z.: Compact difference schemes for heat equation with Neumann boundary conditions. Numer. Methods Partial Differ. Equ. 29, 1459–1486 (2013)

Wang, Y.: Solutions to nonlinear elliptic equations with a nonlocal boundary condition. Electron. J. Differ. Equ. 05, 227–262 (2002)

Yildirim, O., Uzun, M.: On the numerical solutions of high order stable difference schemes for the hyperbolic multipoint nonlocal boundary value problems. Appl. Math. Comput. 254, 210–218 (2015)

Zikirov, O.S.: On boundary-value problem for hyperbolic-type equation of the third order. Lith. Math. J. 47(4), 484–495 (2007)


Solving singular second order three-point boundary value problems using reproducing kernel Hilbert space method ☆

This paper investigates the numerical solutions of singular second order three-point boundary value problems using reproducing kernel Hilbert space method. It is a relatively new analytical technique. The solution obtained by using the method takes the form of a convergent series with easily computable components. However, the reproducing kernel Hilbert space method cannot be used directly to solve a singular second order three-point boundary value problem, so we convert it into an equivalent integro-differential equation, which can be solved using reproducing kernel Hilbert space method. Four numerical examples are given to demonstrate the efficiency of the present method. The numerical results demonstrate that the method is quite accurate and efficient for singular second order three-point boundary value problems.


شاهد الفيديو: المجال 03-القيم الحدية لدالة حل التمرين 42ص77 رياضيات السنة الأولى ثانوي ج. م. ع. ت (شهر نوفمبر 2021).