مقالات

1.4: الخطوط المتوازية - الرياضيات


سطرين موازى إذا لم يلتقوا ، بغض النظر عن مدى امتدادهم. رمز الموازي هو (|| ). في الشكل ( PageIndex {1} ) ، ( stackrel { leftrightarrow} {A B} ) (|| ) ( stackrel { leftrightarrow} {C D} ). تُستخدم علامات الأسهم للإشارة إلى أن الخطوط متوازية.

نفترض الافتراض التالي حول الخطوط المتوازية ، والتي تسمى مسلمة موازية.

Theorem ( PageIndex {1} ): مسلمة موازية

يتم إعطاء الاحتمالات المعينة للأحداث بواسطة دالة التوزيع على مساحة عينة بواسطة

من خلال نقطة ليست على خط معين ، يمكن رسم خط واحد فقط بالتوازي مع الخط المحدد. لذلك في الشكل ( PageIndex {3} ) ، يوجد سطر واحد بالضبط يمكن رسمه من خلال (C ) الذي يوازي ( overleftarrow { mathrm {AB}} ).

أ مستعرض هو خط يتقاطع مع سطرين آخرين عند نقطتين مميزتين. في الشكل ( PageIndex {4} ) ، يكون ( overleftrightarrow {EF} ) مستعرضًا. ( زاوية س ) و ( زاوية س ^ { رئيس} ) تسمى الزوايا الداخلية بديلة من الأسطر ( overleftrightarrow {AB} ) و ( overleftrightarrow {CD} ). كلمة "بديل" هنا تعني أن الزوايا على جوانب مختلفة من المستعرض ، إحدى الزوايا تتكون من ( overleftrightarrow {AB} ) والأخرى مكونة من ( overleftrightarrow {CD} ). كلمة "داخلي" تعني أنهما يقعان بين السطرين. لاحظ أنهم يشكلون الحرف " (Z ​​)". (الشكل ( PageIndex {5} )). ( angle y ) و ( angle y ^ { prime} ) زاويتان داخليتان بديلتان أيضًا. كما أنها تشكل " (Z ​​)" على الرغم من أنها تمتد للخارج وللخلف. عند النظر إليه من الجانب ، قد يبدو الحرف " (Z ​​)" أيضًا مثل " (N )."

الزوايا الداخلية البديلة مهمة بسبب النظرية التالية:

Theorem ( PageIndex {1} ) نظرية "Z"

إذا كان خطان متوازيان ، فإن زاويتهما الداخلية البديلة متساوية ، إذا كانت الزوايا الداخلية البديلة لخطين متساوية ، فيجب أن يكون الخطان متوازيين ،

في الشكل ( PageIndex {6} ) ، يجب أن يكون ( overleftrightarrow {AB} ) موازيًا لـ ( overleftrightarrow {CD} ) لأن الزوايا الداخلية البديلة كلاهما (30 ^ { circ} ). لاحظ أن الزوجين الآخرين من الزوايا الداخلية البديلة ، ( زاوية ص ) و ( زاوية ص ') ، متساويان أيضًا. كلاهما (150 ^ { circ} ). في الشكل ( PageIndex {7} ) ، الخطوط غير متوازية ولا تتساوى أي من الزوايا الداخلية البديلة.

إن إثبات النظرية ( PageIndex {1} ) معقد وسيتم تأجيله إلى الملحق.

مثال ( PageIndex {1} )

أوجد (س ، ص ) و (ض ):

المحلول

( overleftrightarrow {AB} || overleftrightarrow {CD} ) حيث أن الأسهم تشير إلى خطوط متوازية. (x ^ { circ} = 40 ^ { circ} ) لأن الزوايا الداخلية البديلة للخطوط المتوازية متساوية. (y ^ { circ} = z ^ { circ} = 180 ^ { circ} - 40 ^ { circ} = 140 ^ { circ} ).

إجابه: (س = 40 ، ص = 140 ، ض = 140 ).

الزوايا المتوافقة من سطرين زاويتان على نفس الجانب من الخطين ونفس الجانب من المستعرض ، في الشكل ( فهرس الصفحة {8} ) ، ( زاوية ث ) و ( زاوية ث ' ) هي زوايا متطابقة من الخطوط ( overleftrightarrow {AB} ) و ( overleftrightarrow {CD} ). إنهم يشكلون الحرف " (F )." ( الزاوية س ) و ( الزاوية س ') ، ( الزاوية ص ) و ( الزاوية y' ) ، و ( الزاوية ض ) و ( الزاوية ض " ) هي أزواج أخرى من الزوايا المقابلة لـ ( overleftrightarrow {AB} ) و ( overleftrightarrow {CD} ). كلهم يشكلون الحرف " (F )" ، على الرغم من أنه قد يكون مقلوبًا أو مقلوبًا " (F )" (الشكل ( PageIndex {9} )).

الزوايا المتناظرة مهمة بسبب النظرية التالية:

Theorem ( PageIndex {2} ): نظرية "F"

إذا كان خطان متوازيان ، فإن زاويتهما المقابلة متساوية. إذا كانت الزوايا المتناظرة لخطين متساوية ، فيجب أن تكون الخطوط متوازية.

مثال ( PageIndex {2} )

ابحث عن (x ):

المحلول

يشير السهم إلى ( overleftrightarrow {AB} || overleftrightarrow {CD} ). لذلك (x ^ { circ} = 110 ^ { circ} ) لأن (x ^ { circ} ) و (110 ^ { circ} ) هي قياسات الزوايا المتناظرة للخطوط المتوازية ( overleftrightarrow {AB} ) و ( overleftrightarrow {CD} ).

إجابه: (س = 110 ).

لاحظ أنه يمكننا الآن إيجاد كل الزوايا الأخرى في مثال (فهرس الصفحة {2} ). كل واحدة إما مكملة لإحدى زوايا (110 ^ { circ} ) أو تشكل زوايا رأسية متساوية مع إحداهما (الشكل (PageIndex {10} )). وبالتالي الكل الزوايا المتناظرة متساوية ، كما أن كل زوج من الزوايا الداخلية المتناوبة متساوي. ليس من الصعب أن نرى أنه إذا كان زوج واحد فقط من الزوايا المتناظرة أو زوجًا واحدًا من الزوايا الداخلية المتناوبة متساويًا ، فإن كل الأزواج الأخرى من الزوايا الداخلية المتناظرة والبديلة تكون كذلك.

إثبات النظرية ( PageIndex {2} ): ستكون الزوايا المقابلة متساوية إذا تساوت الزوايا الداخلية البديلة والعكس صحيح. لذلك فإن النظرية ( PageIndex {2} ) تتبع مباشرة من Therorem ( PageIndex {1} ).

في الشكل ( PageIndex {11} ) ، تم استدعاء ( angle x ) و ( angle x ') الزوايا الداخلية على نفس الجانب من المستعرض. (في بعض الكتب المدرسية ، تسمى الزوايا الداخلية على نفس sdie من المستعرض الزوايا cointerior.) ( الزاوية y ) و ( الزاوية y ') هي أيضًا الزوايا الداخلية على نفس الجانب من المستعرض ، لاحظ أن كل زوج من الزوايا يشكل الحرف " (ج )". قارن الشكل ( PageIndex {11} ) بالشكل 10 وأيضًا بالمثال ( PageIndex {1} ) ، تظهر النظرية التالية:

Theorem ( PageIndex {3} ): نظرية "C"

إذا كان خطان متوازيان ، فإن الزوايا الداخلية على نفس الجانب من المستعرض تكون مكملة (تضيف uP إلى (180 ^ { circ} )). إذا كانت الزوايا الداخلية لخطين على نفس الجانب من المستعرض مكملة ، فيجب أن تكون الخطوط متوازية.

مثال ( PageIndex {3} )

أوجد (س ) والزوايا المحددة:

المحلول

الخطوط متوازية ، لذا من خلال النظرية ( PageIndex {3} ) يجب أن تكون الزاويتان المحددتان تكميليتين.

[ start {array} {rcl} {x + 2x + 30} & = & {180} {3x + 30} & = & {180} {3x} & = & {180 - 30} {3x} & = & {150} {x} & = & {50} end {array} ]

( زاوية CHG = س = 50 ^ { دائرة} )

( زاوية AGH = 2x + 30 = 2 (50) + 30 = 100 + 30 = 130 ^ { circ} ).

التحقق من:

إجابه: (x = 50 )، ( angle CHG = 50 ^ { circ} )، ( angle AGHa = 130 ^ { circ} ).

مثال ( PageIndex {4} )

أوجد (س ) والزوايا المحددة:

المحلول

( angle BEF = 3x + 40 ^ { circ} ) لأن الزوايا الرأسية متساوية. ( زاوية BEF ) و ( زاوية DFE ) زاويتان داخليتان على نفس الجانب من المستعرض ، وبالتالي فهي مكملة لأن الخطوط متوازية.

[ start {array} {rcl} {3x + 40 + 2x + 50} & = & {180} {5x + 90} & = & {180} {5x} & = & {180 - 90 } {5x} & = & {90} {x} & = & {18} end {array} ]

( زاوية AEC = 3 س + 40 = 3 (18) + 40 = 54 + 40 = 94 ^ { circ} )

( زاوية DFE = 2x + 50 = 2 (18) + 50 = 36 + 50 = 86 ^ { circ} )

التحقق من:

إجابه: (x = 18 )، ( angle AEG = 94 ^ { circ} )، ( angle DFE = 86 ^ { circ} ).

مثال ( PageIndex {5} )

أدرج جميع أزواج الزوايا الداخلية البديلة في الرسم التخطيطي ، (يشير السهم المفرد إلى أن ( overleftrightarrow {AB} ) موازي لـ ( overleftrightarrow {CD} ) ويشير السهم المزدوج إلى ( overleftrightarrow {AD} ) موازي لـ ( overleftrightarrow {BC} ).

المحلول

نرى ما إذا كان يمكن تشكيل حرف (Z ) أو (N ) باستخدام مقاطع الخط في الرسم التخطيطي (الشكل ( PageIndex {12} )) ،

الإجابة: ( angle DCA ) و ( angle CAB ) هما زاويتان داخليتان بديلتان للخطوط ( overleftrightarrow {AB} ) و ( overleftrightarrow {CD} ). ( angle DAC ) و ( angle ACB ) هما زاويتان داخليتان بديلتان للخطوط ( overleftrightarrow {AD} ) و ( overleftrightarrow {BC} )

مثال ( PageIndex {6} )

يتم توجيه التلسكوب نحو نجمة (70 ^ { circ} ) فوق الأفق ، ما الزاوية (x ^ { circ} ) التي يجب أن تصنعها المرآة (BD ) مع الأفقي بحيث يمكن للنجم يمكن رؤيته في العدسة (هـ )؟

المحلول

(x ^ { circ} = angle BCE ) لأنها زوايا داخلية بديلة لخطوط متوازية ( overleftrightarrow {AB} ) و ( overleftrightarrow {CE} ). ( angle DCF = angle BCE = x ^ { circ} ) لأن زاوية السقوط تساوي زاوية الانعكاس. وبالتالي

[ start {array} {rcl} {x + 70 + x} & = & {180} {2x + 70} & = & {180} {2x} & = & {110} { x} & = & {55} end {array} ]

الجواب: (55 ^ { circ} )

ملخص

الزوايا الداخلية بديلة من خطوط paralle متساوية. إنهم يشكلون الحرف " (Z ​​)".

الزوايا المتوافقة من الخطوط المتوازية متساوية. إنهم يشكلون الحرف " (F )."

الزوايا الداخلية على نفس جوانب المستعرض من الخطوط المتوازية مكملة. إنهم يشكلون الحرف " (G )".

ملاحظة تاريخية

الفرضية الموازية الواردة سابقًا في هذا القسم تعادل الافتراض الخامس لعناصر إقليدس. كان إقليدس محقًا في افتراضه كمسلمة بدلاً من محاولة إثباته كنظرية ، ولكن هذا لم يتضح للعالم الرياضي حتى القرن التاسع عشر ، بعد 2200 عام ، وفي غضون ذلك ، حاول عشرات من علماء الرياضيات البارزين إعطاءهم دون جدوى. دليل مرضٍ على الفرضية الموازية. لقد شعروا أنه لم يكن بديهيًا كما ينبغي أن تكون الافتراضات ، وأنه يتطلب بعض التبرير الرسمي ،

في عام 1826 ، قدم N ، I ، Lobachevsky ، عالم رياضيات روسي ، نظامًا هندسيًا قائمًا على افتراض أنه من خلال نقطة معينة يمكن رسم أكثر من خط مستقيم واحد بالتوازي مع خط معين (الشكل ( PageIndex {13} )). في عام 1854 ، اقترح عالم الرياضيات الألماني جورج برنارد ريمان نظامًا هندسيًا لا توجد فيه خطوط متوازية على الإطلاق ، يُطلق على القياس الجغرافي الذي تم فيه استبدال الافتراض المتوازي ببعض الافتراضات الأخرى الهندسة غير الإقليدية. يظهر وجود هذه الأشكال الهندسية أن الافتراض الموازي لا يلزم بالضرورة أن يكون صحيحًا. في الواقع ، استخدم أينشتاين هندسة ريمان كأساس لنظريته النسبية.

بطبيعة الحال ، فإن افتراضنا الموازي الأصلي يكون أكثر منطقية للتطبيقات العادية ، ونحن نستخدمه في جميع أنحاء هذا الكتاب ، ومع ذلك ، بالنسبة للتطبيقات التي تنطوي على مسافات كبيرة ، مثل علم الفلك ، فقد يكون من الجيد أن الهندسة غير الإقليدية تعطي أفضل تقريب للواقع المادي.

مشاكل

لكل مما يلي ، اذكر النظرية (النظريات) المستخدمة في الحصول على إجابتك (على سبيل المثال ، "الزوايا الداخلية البديلة للخطوط المتوازية متساوية"). يُفترض أن تكون الخطوط التي تم تمييزها بنفس السهم متوازية ،

1 - 2. ابحث عن (x، y )، و (z ):

1. 2.

3 - 4. ابحث عن (t ) و (u ) و (v ) و (w ) و (x ) و (y ) و (z ):

3. 4.

5 - 10. أوجد (x ):

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11 - 18. أوجد (x ) والزوايا المحددة:

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19 - 26. لكل مما يلي ، قم بإدراج جميع أزواج الزوايا الداخلية المتناوبة والزوايا المقابلة ، إذا لم يكن هناك أي منها ، فقم بإدراج كل أزواج الزوايا الداخلية على نفس الجانب من المستعرض. حدد الخطوط المتوازية التي تشكل كل زوج من الزوايا.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. تلسكوب موجه نحو نجم (50 ^ { circ} ) فوق الأفق. ما الزاوية (x ^ { circ} ) التي يجب أن تجعل المرآة (BD ) الأفقي بحيث يمكن رؤية النجم في العدسة (E )؟

28. يستخدم البحارة المنظار في غواصة لرؤية الأشياء على سطح الماء ، إذا كان ( angle ECF = 90 ^ { circ} ) ، ما هي الزاوية (x ^ { circ} ) المرآة (BD ) مع الأفقي؟


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورس ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


Lane ORCCA (2020-2021): المصادر المفتوحة لجبر كلية المجتمع

الخطوط الأفقية والعمودية لها بعض الميزات الخاصة التي تستحق اهتمامنا. أيضًا إذا كان زوج من الخطوط متوازيًا أو متعامدًا مع بعضهما البعض ، فلدينا بعض الأشياء المثيرة للاهتمام لنقولها عنهما. يبحث هذا القسم في هذه الميزات الهندسية التي قد تحتوي عليها الخطوط.

القسم الفرعي 4.8.1 الخطوط الأفقية والخطوط الرأسية

تعلمنا في القسم 4.7 أنه يمكن كتابة جميع الأسطر في شكل قياسي. عندما يكون (A ) أو (B ) متساويين (0 نص <،> ) ننتهي بخط أفقي أو عمودي ، كما سنرى قريبًا. لنأخذ معادلة خط النموذج القياسي ، دعنا (A = 0 ) و (B = 0 ) واحدًا تلو الآخر ، ونبسط كل معادلة.

فكر في واحدة فقط من هذه المعادلات الأخيرة: (y = k text <.> ) تقول أن (y ) - القيمة هي نفسها بغض النظر عن مكانك على السطر. إذا كنت ترغب في رسم نقاط على هذا الخط ، فأنت حر في التحرك بعيدًا إلى اليسار أو بعيدًا إلى اليمين على المحور (س ) ، ولكن بعد ذلك يمكنك دائمًا التحرك لأعلى (أو لأسفل) لجعل (ص ) - تساوي القيمة (k text <.> ) كيف يبدو هذا الخط؟

المثال 4.8.5.

دعنا نرسم السطر بالمعادلة (y = 3 text <.> ) (لاحظ أن هذا هو نفسه (0x + 1y = 3 text <.> ))

لرسم بعض النقاط ، لا يهم القيم التي نستخدمها (س ). كل ما يهم هو أن (ص ) دائما (3 نص <.> )

خط مثل هذا يوازي المحور الأفقي. كل الأسطر التي تحتوي على معادلة في الصورة

(أو ، في النموذج القياسي ، (0x + By = C )) هي.

مثال 4.8.7.

دعنا نرسم السطر بالمعادلة (x = 5 text <.> ) (لاحظ أن هذا هو نفسه (1x + 0y = 5 text <.> ))

يحتوي السطر على (x = 5 text <،> ) حتى نرسم النقاط ، نحن كذلك مطلوب للانتقال إلى (x = 5 text <.> ) من هناك ، لدينا الحرية الكاملة للتحرك مهما كان البعد الذي نفضله لأعلى أو لأسفل.

خط مثل هذا يوازي المحور الرأسي. كل الأسطر التي تحتوي على معادلة في الصورة

(أو ، في الشكل القياسي ، (Ax + 0y = C )) عمودية.

المثال 4.8.9. منحدر صفري.

في Checkpoint 4.4.16 ، تعلمنا أن ميل الخط الأفقي هو (0 text <،> ). إذن ، البسط في صيغة الميل هو (0 نص <.> ) الآن ، إذا عرفنا ميل الخط وتقاطعه (y ) - يمكننا استخدام صيغة الميل والمقطع لكتابة معادلته:

يوفر لنا هذا طريقة بديلة للتفكير في معادلات الخطوط الأفقية. لديهم (ص ) - تقاطع ((0 ، ب) ) ولديهم ميل (0 نص <.> )

نستخدم الخطوط الأفقية لنمذجة السيناريوهات التي لا يوجد فيها تغيير في قيم (y ) - ، مثل عندما توقف كاتو لمدة (12 ) ساعة (كان يستحق الراحة)!

نقطة تفتيش 4.8.10. نقاط التآمر.
المثال 4.8.11. منحدر غير محدد.

ما هو ميل الخط العمودي؟ يوضح الشكل 4.8.12 ثلاثة خطوط تمر عبر الأصل ، كل منها أكثر انحدارًا من السابق. في كل رسم بياني ، يمكنك رؤية مثلث ميل يستخدم "ارتفاع" (4 ) في كل مرة.

إذا واصلنا جعل الخط أكثر انحدارًا وانحدارًا حتى يصبح رأسيًا ، فسيظل مثلث المنحدر "ارتفاعًا" بمقدار (4 text <،> ) ولكن "المدى" سيصبح أصغر وأصغر ، أقرب إلى ( 0 text <.> ) ثم يكون الميل (م = فارك <4> < نص> = نص text <.> ) لذلك يمكن اعتبار ميل الخط العمودي "كبير بشكل لا نهائي".

إذا حاولنا بالفعل حساب الميل باستخدام مثلث الميل عندما يكون المدى (0 text <،> ) سيكون لدينا ( frac <4> <0> text <،> ) وهو غير معرف. لذلك نقول أيضًا إن ميل الخط الرأسي يساوي غير معرف. يقول بعض الناس أن الخط العمودي ليس له منحدر.

ملاحظة 4.8.13.

احرص على عدم الخلط بين "بلا منحدر" (مما يعني "ميله غير محدد") مع "لديه ميل (0 نص <.> )" إذا كان الخط به ميل (0 نص <،> ) هو - هي هل لديهم منحدر.

نقطة تفتيش 4.8.14. نقاط التآمر.
مثال 4.8.15.

لنفترض أن (x ) يمثل سعر التلفزيون الجديد (60 ) بوصة في Target on Black Friday (والذي كان ( $ 650 )) ، واجعل (y ) هو عدد الساعات التي تريدها شاهد شيئًا ما على هذا التلفزيون طوال حياته. ما العلاقة بين (س ) و (ص نص <؟> )

حسنًا ، لا يمكن الالتفاف حول حقيقة أن (x = 650 text <.> ) بالنسبة إلى (y text <،> ) بدون أي معلومات إضافية حول عادات المشاهدة ، فقد تكون نظريًا منخفضة مثل (0 ) أو يمكن أن يكون أي شيء أكبر من ذلك. إذا رسمنا هذا السيناريو ، فعلينا رسم المعادلة (x = 650 text <،> ) التي نعرف الآن أنها تعطي خطًا رأسيًا ، ونحصل على الشكل 4.8.16.

ملخص معادلات الخط الأفقي والعمودي.

الخط هو إذا وفقط إذا كان من الممكن كتابة معادلته

الخط هو إذا وفقط إذا كان من الممكن كتابة معادلته

في الشكل القياسي ، أي سطر مع المعادلة

في الشكل القياسي ، أي سطر مع المعادلة

إذا كان السطر الذي يحتوي على المعادلة (y = k ) أفقيًا ، فإنه يحتوي على (y ) - تقاطع عند ((0 ، ك) ) وله ميل (0 نص <.> )

إذا كان الخط الذي يحتوي على المعادلة (x = h ) عموديًا ، يكون له (x ) - تقاطع عند ((h ، 0) ) وميله هو غير معرف. يقول البعض أنها كذلك رقم المنحدر ، والبعض يقول المنحدر كبير بشكل لا نهائي.

في صيغة الميل والمقطع ، أي خط مع المعادلة

من المستحيل كتابة معادلة الخط العمودي بصيغة الميل والمقطع ، لأن الخطوط العمودية ليس لها ميل محدد.

القسم الفرعي 4.8.2 الخطوط المتوازية

مثال 4.8.17.

تم زرع شجرتين في نفس العام ، ونموها بمرور الوقت على غرار الخطين في الشكل 4.8.18. استخدم المعادلات الخطية لنمذجة نمو كل شجرة ، وتفسير معانيها في هذا السياق.

يمكننا أن نرى معادلة الشجرة 1 هي (y = frac <2> <3> x + 2 text <،> ) ومعادلة Tree 2 هي (y = frac <2> <3> x + 5 نص <.> ) كان طول الشجرة 1 (2 ) قدمًا عندما تم غرسها ، وكان طول الشجرة 2 (5 ) أقدام عندما تم غرسها. تنمو كلتا الشجرتين بنفس المعدل ، ( frac <2> <3> ) قدم في السنة ، أو (2 ) قدم كل (3 ) سنوات.

ملاحظة مهمة الآن هي أن هذين الخطين متوازيان. لماذا ا؟ بالنسبة للخطوط ذات المنحدرات الموجبة ، كلما كان ميل الخط أكبر ، كان الخط أكثر انحدارًا. نتيجة لذلك ، إذا كان لخطين نفس الميل ، فإنهما يميلان بنفس الزاوية ، وبالتالي يكونان متوازيين.

حقيقة 4.8.19.

أي خطين عموديين متوازيين. بالنسبة لخطين غير عموديين ، يكونان متوازيين إذا وفقط إذا كان لهما نفس الميل.

نقطة تفتيش 4.8.20.
نقطة التفتيش 4.8.21.

القسم الفرعي 4.8.3 الخطوط المتعامدة

منحدرات خطين متعامدين لها علاقة خاصة أيضًا.

يرشدك الشكل 4.8.22 خلال شرح لهذه الحقيقة الواقعية.

الخط الثاني في الشكل 4.8.22 لديه ميل

حقيقة 4.8.23.

الخط العمودي والخط الأفقي عمودي. بالنسبة للخطوط غير الرأسية أو الأفقية ، فإنها تكون متعامدة إذا وفقط إذا كان ميل أحدهما هو سالب مقلوب ميل الآخر. أي ، إذا كان أحدهما لديه ميل (م نص <،> ) فإن الآخر لديه ميل (- فارك <1> نص <.> )

هناك طريقة أخرى لقول ذلك وهي أن حاصل ضرب ميل خطين متعامدين هو (- 1 ) (بافتراض أن كلا الخطين لهما ميل في المقام الأول).

غير مقتنع؟ فيما يلي ثلاثة أزواج من الخطوط المتعامدة حيث يمكننا رؤية ما إذا كان النمط ثابتًا أم لا.

المثال 4.8.27.

يمر الخط (A ) عبر ((- 2،10) ) و ((3 ، -10) النص <.> ) يمر الخط (B ) عبر ((- 4 ، -4 ) ) و ((8 ، -1) نص <.> ) حدد ما إذا كان هذان الخطان متوازيين أم متعامدين أم لا.

سنستخدم صيغة الميل لإيجاد ميل كلا الخطين:

منحدراتهما ليست متطابقة ، لذا فإن هذين الخطين ليسا متوازيين.

حاصل ضرب منحدراتهم هو ((- 4) cdot frac <1> <4> = -1 text <،> text <،> ) مما يعني أن الخطين متعامدين.

نقطة تفتيش 4.8.28.

تمارين 4.8.4 تمارين

مراجعة والاحماء

قيم التعبيرات التالية. إذا كانت الإجابة غير محددة ، فيمكنك الإجابة باستخدام DNE (بمعنى "غير موجود").

قيم التعبيرات التالية. إذا كانت الإجابة غير محددة ، فيمكنك الإجابة باستخدام DNE (بمعنى "غير موجود").

يمر الخط بالنقطتين ((4، -4) ) و ((- 5، -4) text <.> ) أوجد ميل هذا السطر.

يمر الخط عبر النقاط ((2، -1) ) و ((- 3، -1) text <.> ) أوجد ميل هذا السطر.

يمر الخط عبر النقاط ((1، -1) ) و ((1،5) text <.> ) أوجد منحدر هذا السطر.

يمر الخط بالنقطتين ((3، -3) ) و ((3،3) text <.> ) أوجد منحدر هذا السطر.

أي من الأزواج المرتبة التالية يمثل حلولًا للمعادلة المعطاة؟ قد يكون هناك أكثر من إجابة واحدة صحيحة.

أي من الأزواج المرتبة التالية يمثل حلولًا للمعادلة المعطاة؟ قد يكون هناك أكثر من إجابة واحدة صحيحة.

أي من الأزواج المرتبة التالية يمثل حلولًا للمعادلة المعطاة؟ قد يكون هناك أكثر من إجابة واحدة صحيحة.

أي من الأزواج المرتبة التالية يمثل حلولًا للمعادلة المعطاة؟ قد يكون هناك أكثر من إجابة واحدة صحيحة.


شكوى DMCA

إذا كنت تعتقد أن المحتوى المتاح عن طريق موقع الويب (كما هو محدد في شروط الخدمة الخاصة بنا) ينتهك واحدًا أو أكثر من حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيرجى إخطارنا من خلال تقديم إشعار كتابي ("إشعار الانتهاك") يحتوي على المعلومات الموضحة أدناه إلى الوكيل المذكور أدناه. إذا اتخذ Varsity Tutors إجراءً ردًا على إشعار الانتهاك ، فسيحاول بحسن نية الاتصال بالطرف الذي جعل هذا المحتوى متاحًا عن طريق عنوان البريد الإلكتروني الأحدث ، إن وجد ، الذي قدمه هذا الطرف إلى Varsity Tutor.

قد تتم إعادة توجيه إشعار الانتهاك الخاص بك إلى الطرف الذي جعل المحتوى متاحًا أو إلى جهات خارجية مثل ChillingEffects.org.

يُرجى العلم أنك ستكون مسؤولاً عن التعويضات (بما في ذلك التكاليف وأتعاب المحاماة) إذا لم تُثبت بالدليل المادي أن منتجًا أو نشاطًا ما ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك. وبالتالي ، إذا لم تكن متأكدًا من أن المحتوى الموجود على الموقع أو المرتبط به ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، فيجب أن تفكر أولاً في الاتصال بمحامٍ.

الرجاء اتباع هذه الخطوات لتقديم إشعار:

يجب عليك تضمين ما يلي:

توقيع مادي أو إلكتروني لمالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه تعريف بحقوق النشر المزعوم انتهاكها وصفًا لطبيعة وموقع المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك ، بما يكفي التفاصيل للسماح للمدرسين المختلفين بالعثور على هذا المحتوى وتحديده بشكل إيجابي ، على سبيل المثال ، نطلب رابطًا إلى السؤال المحدد (وليس فقط اسم السؤال) الذي يحتوي على المحتوى ووصف أي جزء معين من السؤال - صورة ، أو الرابط والنص وما إلى ذلك - تشير شكواك إلى اسمك وعنوانك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وبيان من جانبك: (أ) تعتقد بحسن نية أن استخدام المحتوى الذي تدعي أنه ينتهك حقوق الطبع والنشر الخاصة بك هو غير مصرح به بموجب القانون ، أو من قبل مالك حقوق الطبع والنشر أو وكيل المالك (ب) أن جميع المعلومات الواردة في إشعار الانتهاك الخاص بك دقيقة ، و (ج) تحت طائلة عقوبة الحنث باليمين ، أنك إما مالك حقوق الطبع والنشر أو شخص مخول بالتصرف نيابة عنه.

أرسل شكواك إلى وكيلنا المعين على:

تشارلز كوهن فارسيتي توتورس ذ م م
101 طريق هانلي ، جناح 300
سانت لويس ، مو 63105


1.4: الخطوط المتوازية - الرياضيات

كلية الجبر
الدرس 28: الخطوط المتوازية والعمودية

  1. أوجد ميل الخط الموازي لخط معطى.
  2. أوجد ميل الخط العمودي على خط معطى.

الخطوط المتوازية ومنحدراتها

لاحظ أن الخطين متوازيان إذا كان ميلهما متساويًا ومختلفين ذ - اعتراضات.

الخطوط العمودية ومنحدراتها

يمكن أن يكون هذا النموذج مفيدًا إذا كنت بحاجة إلى إيجاد ميل خط بمعلومية المعادلة.

تذكر أنه عندما تحصل على معادلة الخط ، يمكنك إيجاد ميله عن طريق كتابته في شكل معادلة الميلان المحصور، ، أين م هو المنحدر و ب هل ذ - اعتراض الخط.

تمت كتابة هذه المعادلة بالفعل في شكل الميل / التقاطع:

إذا قلت -7 ، فأنت على صواب.

منحدر الخط الموازي:
بما أن المستقيمات المتوازية لها نفس الميل ، فماذا تعتقد أن ميل أي خط مواز لهذا الخط سيكون؟ ربّت على ظهرك إذا قلت -7.

منحدر الخط العمودي:
بما أن ميل المستقيمين المتعامدين هما مقلوبان سالبان لبعضهما البعض ، فما هو برأيك ميل أي خط عمودي على هذا الخط؟ امنح نفسك خمسة عالية إذا قلت 1/7.

تذكر أنك تأخذ المقلوب الذي يساوي -1/7 ثم ترفضه للحصول على 1/7 للمنحدر العمودي.

ميل أي خط موازٍ للخط هو -7 وميل أي خط عمودي على الخط هو 1/7.

تذكر أنه عندما تحصل على معادلة الخط ، يمكنك إيجاد ميله عن طريق كتابته في شكل معادلة الميلان المحصور، ، أين م هو المنحدر و ب هل ذ - اعتراض الخط.

إعادة كتابة هذه المعادلة في شكل الميل / التقاطع نحصل على:

* مكتوب في شكل منحدر / تقاطع

إذا قلت 2/3 فأنت محق.

منحدر الخط الموازي:
بما أن المستقيمات المتوازية لها نفس الميل ، فماذا تعتقد أن ميل الخط الموازي سيكون؟ ربّت على ظهرك إذا قلت 2/3.

منحدر الخط العمودي:
بما أن ميل المستقيمين المتعامدين عبارة عن مقلوب سالب لبعضهما البعض ، فما رأيك في ميل الخط العمودي؟ امنح نفسك خمسة عالية إذا قلت -3/2.

تذكر أنك تأخذ المقلوب وهو 3/2 ثم تنفيه لتحصل على -3/2 للميل العمودي.

ميل الخط الموازي يساوي 2/3 وميل الخط العمودي -3/2.

ما هو ميل الخط العمودي؟ إذا قلت غير محدد ، فأنت على حق.

منحدر الخط الموازي:
بما أن الخطين المتوازيين لهما نفس الميل ، فماذا سيكون ميل الخط الموازي برأيك؟ ربّت على ظهرك إذا قلت غير محدد.

منحدر الخط العمودي:
بما أن ميل المستقيمات المتعامدة عبارة عن مقلوب سالب لبعضها البعض ، فما هو برأيك ميل الخط العمودي؟ هذا اصعب قليلا الخطوط العمودية والخطوط الأفقية متعامدة مع بعضها البعض. سيكون ميل الخط العمودي في هذه الحالة هو ميل الخط الأفقي الذي سيكون صفرًا.

ميل الخط الموازي غير محدد وميل الخط العمودي يساوي 0.

ما هو ميل الخط الأفقي؟ إذا قلت 0 ، فأنت على حق.

منحدر الخط الموازي:
بما أن الخطين المتوازيين لهما نفس الميل ، فماذا سيكون ميل الخط الموازي برأيك؟ ربّت على ظهرك إذا قلت 0.

منحدر الخط العمودي:
بما أن ميل المستقيمات المتعامدة عبارة عن مقلوب سالب لبعضها البعض ، فما هو برأيك ميل الخط العمودي؟ هذا اصعب قليلا الخطوط العمودية والخطوط الأفقية متعامدة مع بعضها البعض. سيكون ميل الخط العمودي في هذه الحالة هو ميل الخط العمودي الذي سيكون غير معرف.

ميل الخط الموازي يساوي 0 وميل الخط العمودي غير محدد.

خط يمر بالنقطة و
وجود منحدر م سيكون لها المعادلة

عند كتابة معادلة خط ، ضع في اعتبارك ذلك تحتاج دائمًا إلى جزأين من المعلومات عندما تذهب لكتابة معادلة:

لدينا نقطة ، ولكن ماذا عن المنحدر؟ هل هذا يعني أنه يمكننا & # 8217t حل المشكلة؟ لن تنزل بهذه السهولة.

نحتاج إلى القيام ببعض الحفر للوصول إلى المنحدر.

كما ذكر أعلاه، الخطوط المتوازية لها نفس الميل. لذا ، إذا عرفنا ميل الخط المستقيم الموازي للخط ، فقد قطعناه.

لنجد & # 8217s ميل الخط المعطى:

حسنًا ، لدينا الآن ميلنا ، وهو 4. الآن هو تمامًا مثل المشاكل في الدرس 26: معادلات الأسطر، نضع الميل ونقطة واحدة في معادلة النقطة / الميل.

* عكس الإضافة. 5 فرعية. 5

* شكل الانحدار / التقاطع للخط

لدينا نقطة ، ولكن ماذا عن المنحدر؟ هل هذا يعني أنه يمكننا & # 8217t حل المشكلة؟ لن تنزل بهذه السهولة.

نحن بحاجة إلى القيام ببعض الحفر للوصول إلى المنحدر.

كما ذكر أعلاه ، فإن منحدرات الخطوط المتعامدة هي معاملات سلبية لبعضها البعض. لذا ، إذا عرفنا ميل الخط العمودي على الخط ، فقد قطعناه.

لنجد & # 8217s ميل الخط المعطى:

* معكوس متعدد. بواسطة -5 هي div. بنسبة -5

* شكل الانحدار / التقاطع للخط

حسنًا ، لدينا الآن ميلنا ، وهو -5/2. الآن هو تماما مثل المشاكل في الدرس 26: معادلات الأسطر، نضع الميل ونقطة واحدة في معادلة النقطة / الميل.

* Dist. من -5/2 من خلال ()

* معكوس الباطن. 2 هو إضافة. 2

* شكل الانحدار / التقاطع للخط

مشاكل الممارسة 1 أ - 1 ج: أوجد ميل الخط المستقيم أ) الموازي ، ب) العمودي على الخط المعطى.

مشاكل الممارسة 2 أ - 2 ب: اكتب معادلة للخط في صيغة النقطة / الميل وصيغة الميل / التقاطع التي لها الشرط المحدد.


$ تبدأ & l_1: y = m_1 cdot x + c_1 & l_2: y = m_2 cdot x + c_2 end $

إذا كان $ l_1 $ عموديًا على $ l_2 $ ، فإن: $ m_1 = m_2 $.

$ y = 3x + 14 $ موازي لـ $ y = 3x - 72 $

إذا كان الخطان غير متوازيين ، فهناك نقطة تقاطع. يمكن إيجاد هذه النقطة عن طريق حل المعادلتين في وقت واحد.

حدد ما إذا كانت أزواج الخطوط التالية متوازية.

$ l_2 $: السطر الذي ينضم إلى $ A $ (1، 4) $ و $ B $ $ (- 4، -1) $

نظرًا لأن التدرجين متماثلان ، فإن الخطين متوازيين.

خطوط متعامدة

$ تبدأ & l_1: y = m_1 cdot x + c_1 & l_2: y = m_2 cdot x + c_2 end $

إذا كان $ l_1 $ عموديًا على $ l_2 $ ، فإن: $ m_1 m_2 = -1 $.

$ y = 3x + 14 $ عمودي على $ y = - frac <1> <3> - 72 $

بالنظر إلى السطر $ 2x - 3y = 9 $ والنقطة $ (4، -1) $ ، ابحث عن خطوط من خلال النقطة التي

1: موازٍ للخط المعطى و

الحل للخط المتوازي:

من الواضح أن أول شيء نحتاجه هو حل $ 2x - 3y = 9 $ لـ $ y = $ ، بحيث يمكن إيجاد ميل المرجع:

2x - 3y = 9 - 3y = -2x + 9 y = frac <2> <3> x - 3 $

لذا فإن الميل المرجعي من الخط المرجعي هو $ m = frac <2> <3> $.

بما أن الخط الموازي له ميل مماثل ، فإن الخط الموازي المار بـ $ (4، -1) $ سيكون ميله $ m = frac <2> <3> $. الآن ، النقطة والميل معروفان! إذن ، يمكن استخدام صيغة الميل والنقطة ، الآن ، لإيجاد الخط المستقيم:

هذا هو الخط الموازي المطلوب.

حل للخط العمودي:

بالنسبة للخط العمودي ، يجب إيجاد الميل العمودي. المنحدر المرجعي هو $ m = frac <2> <3> $ ، وبالنسبة للمنحدر العمودي ، سيتم قلب هذا المنحدر وتغيير العلامة. إذن ، الميل العمودي هو $ m = - frac <3> <2> $. الآن ، يمكن استخدام صيغة الميل والمقطع.

$ تبدأ y - y_1 & = m (x - x_1) y - (-1) & = - frac <3> <2> (x - 4) y + 1 & = - frac <3> <2 > x + 6 y & = - frac <3> <2> x + 5 end $

ابحث عن المنصف العمودي للقطعة المستقيمة التي تربط $ A $ (- 3، 4) $ و $ B $ (2، -1) $.

انحدار المنصف العمودي:

$ تبدأ m_1m_2 & = -1 -1 cdot m_2 & = -1 m_2 & = 1 end $

نقطة المنتصف $ AB = left ( frac<2> ، frac <2> right) = left ( frac <-3 + 2> <2>، frac <4-1> <2> right) = left (- frac <1> <2>، frac <3> <2> right) $

$ تبدأ y - y_1 & = m cdot (x - x_1) y - frac <3> <2> & = 1 cdot (x - frac <1> <2>) y & = x - frac <1> <2> + frac <3> <2> y & = x + 1 end $


مثال 1:

أوجد جميع النقاط على الرسم البياني لـ ص = س ٤ - ٢ س ٢ حيث يكون خط المماس موازيًا لمحور x.

    المستقيمات الموازية للمحور x لها ميل = 0. ميل خط مماس للرسم البياني لـ ص = س ٤ - ٢ س ٢ يتم الحصول عليها من خلال المشتق الأول ذ & # 8216.

إلى عن على س = 0 ، ص = 0 ،

إلى عن على س = 1 ، ص = -1 ، و

  • خطوط المماس موازية للمحور x عند النقاط ، (0, 0), (–1, –1), و (1, –1).

أخطط لكتابة المزيد من التدوينات حول تحديد نصف القطر بمثال ، حل المثلثات القائمة. استمر في التحقق من مدونتي.


MathHelp.com

هذا الخط له بعض قيم الميل (على الرغم من أنه ليس بقيمة & quot 2 & quot ، بالطبع ، لأن معادلة السطر هذه لم يتم حلها لـ & quot ذ= & مثل).

سأحتاج أولاً إلى إيجاد ميل الخط المرجعي. يمكنني استخدام طريقة التوصيل مرتين x - القيم في الخط المرجعي ، وإيجاد المقابل ذ - القيم ، ثم عوض النقطتين اللتين وجدتهما في صيغة الميل ، لكنني أفضل إيجاد & quot ذ= & مثل. (هذا مجرد تفضيل شخصي. إذا اختلف تفضيلاتك ، فاستخدم الطريقة التي تفضلها.) لذلك:

أول شيء سأفعله هو حل & quot 2x & - 3ذ = 9 & quot لـ & quot ذ= & quot ، حتى أتمكن من العثور على المنحدر المرجعي:

لذا فإن المنحدر المرجعي من الخط المرجعي هو.

الآن أنا بحاجة إلى إيجاد منحدرين جديدين ، واستخدامهما مع النقطة التي أعطوني إياها ، وهي النقطة (4 ، & ndash1). يريدون مني أن أجد السطر المار بـ (4، & ndash1) الموازي لـ 2x & - 3ذ = 9 أي أنهم يريدون ، من خلال النقطة المحددة ، أن أجد خطًا له نفس ميل الخط المرجعي. ثم يريدون مني العثور على الخط المار بـ (4 & ndash1) المتعامد مع 2x & - 3ذ = 9 ، أي أنهم يريدون ، من خلال النقطة المعينة ، أن أجد الخط الذي له ميل وهو سالب مقلوب ميل الخط المرجعي.

بما أن الخط الموازي له ميل مماثل ، فإن الخط الموازي المار بـ (4، & ndash1) سيكون له ميل. مهلا ، الآن لدي نقطة ومنحدر! لذا سأستخدم صيغة الميل والنقطة لإيجاد الخط المستقيم:

هذا هو الخط الموازي الذي طلبوه ، وهو في صيغة الميل والمقطع التي حددوها.

بالنسبة للخط العمودي ، يجب أن أجد الميل العمودي. المنحدر المرجعي هو. بالنسبة إلى المنحدر العمودي ، سأقلب الميل المرجعي وأغير العلامة. ثم يكون المنحدر العمودي.

مرة أخرى ، لدي نقطة وميل ، لذا يمكنني استخدام صيغة النقطة والميل لإيجاد المعادلة. لاحظ أن التغيير الوحيد ، فيما يلي ، من الحسابات التي أجريتها للتو (للخط الموازي) هو أن الميل مختلف ، حيث أصبح الآن ميل الخط العمودي.

ثم الحل الكامل لهذا التمرين هو:

تحذير: إذا سألك سؤال ما إذا كان سطرين محددين & quot؛ متوازيان أم متعامدان أم لا & quot ، فيجب عليك الإجابة عن هذا السؤال من خلال إيجاد منحدراتهما ، ليس برسم صورة! يمكن أن تعطيك الصور فكرة تقريبية عما يجري.

على سبيل المثال ، لن تكون قادرًا ببساطة على معرفة & quotby بالنظر & quot في الصورة ، تلك الخطوط المرسومة بمنحدرات ، على سبيل المثال ، م1 = 1.00 و م2 = 0.99 ليست متوازية و [مدش] وسوف تكون متأكدة كما هيك بحث بالتوازي في الصورة. ولكن بما أن 1.00 لا يساوي 0.99 ، فلا يمكن أن تكون الخطوط متوازية.

بمعنى آخر ، للإجابة على هذا النوع من التمارين ، ابحث دائمًا عن المنحدرات العددية ولا تحاول الابتعاد بمجرد رسم بعض الصور الجميلة.

يمكنك استخدام عنصر واجهة المستخدم Mathway أدناه للتدرب على إيجاد خط متوازي خلال نقطة معينة. جرب التمرين الذي تم إدخاله ، أو اكتب التمرين الخاص بك. ثم انقر فوق الزر لمقارنة إجابتك بإجابتك Mathway. (الأداة التالية هي العثور على خطوط متعامدة.) أو تابع إلى المثالين المعقدين التاليين.

(النقر فوق & quotTap لعرض الخطوات & quot على شاشة إجابة الأداة ، سينقلك إلى موقع Mathway للحصول على ترقية مدفوعة.)

يمكنك استخدام عنصر واجهة المستخدم Mathway أدناه للتدرب على إيجاد خط عمودي خلال نقطة معينة. جرب التمرين الذي تم إدخاله ، أو اكتب التمرين الخاص بك. ثم انقر فوق الزر لمقارنة إجابتك بإجابتك Mathway.

(النقر فوق & quotTap لعرض الخطوات & quot على شاشة إجابة الأداة ، سينقلك إلى موقع Mathway للحصول على ترقية مدفوعة.)

تقريبًا جميع التدريبات الخاصة بإيجاد معادلات للخطوط المتوازية والعمودية ستكون مشابهة أو مشابهة تمامًا لتلك المذكورة أعلاه. فيما يلي مثالان لأنواع التمارين الأكثر تعقيدًا:

لأي قيمة أ هو الخط ذ = فأس عمودي على الخط؟

بما أن الميل هو القيمة التي يتم ضربها في & quot x & quot عندما تحل المعادلة لـ & quot ذ= & quot ، ثم قيمة & quot أ " is going to be the slope value for the perpendicular line. In other words, they're asking me for the perpendicular slope, but they've disguised their purpose a bit. It's up to me to notice the connection.

The first thing I need to do is find the slope of the reference line. I'll solve for " ذ= ":

Then the reference slope is م = 9 . The perpendicular slope (being the value of " أ " for which they've asked me) will be the negative reciprocal of the reference slope.

I start by converting the " 9 " to fractional form by putting it over " 1 ". Then I flip and change the sign. The result is:

What is the distance between the lines given by the equations 3x + 2ذ = 15 and 4ذ + 6x = 3 ?

The only way these two lines could have a distance between them is if they're parallel. (Otherwise, they must meet at some point, at which point the distance between the lines would obviously be zero.) Are these lines parallel? I'll solve each for " ذ= " to be sure:

The lines have the same slope, so they are indeed parallel. And they have different ذ -intercepts, so they're not the same line. Therefore, there is indeed some distance between these two lines. But how to I find that distance? It will be the perpendicular distance between the two lines, but how do I find that?

I know I can find the distance between two points I plug the two points into the Distance Formula. But I don't have two points. Ah but I can pick any point on one of the lines, and then find the perpendicular line through that point. Since the original lines are parallel, then this perpendicular line is perpendicular to the second of the original lines, too. Then I can find where the perpendicular line and the second line intersect. That intersection point will be the second point that I'll need for the Distance Formula.

I know the reference slope is . Then my perpendicular slope will be . Now I need a point through which to put my perpendicular line. I'll pick x = 1 , and plug this into the first line's equation to find the corresponding ذ -value:

So my point (on the first line they gave me) is (1, 6) . With this point and my perpendicular slope, I can find the equation of the perpendicular line that'll give me the distance between the two original lines:

Okay now I have the equation of the perpendicular. The distance will be the length of the segment along this line that crosses each of the original lines.

Where does this line cross the second of the given lines? It'll cross where the two lines' equations are equal, so I'll set the non- ذ sides of the second original line's equaton and the perpendicular line's equation equal to each other, and solve:

The above more than finishes the line-equation portion of the exercise. I'll leave the rest of the exercise for you, if you're interested.

(To finish, you'd have to plug this last x -value into the equation of the perpendicular line to find the corresponding ذ -القيمة. This would give you your second point. [It turns out to be , if you do the math.] Then you'd need to plug this point, along with the first one, (1, 6) , into the Distance Formula to find the distance between the lines. [The distance turns out to be , or about 3.7442 , if you plow through the computations.])

Note that the distance between the lines is ليس the same as the vertical or horizontal distance between the lines, so you can ليس use the x - or ذ -intercepts as a proxy for distance.

Of greater importance, notice that this exercise nowhere said anything about parallel or perpendicular lines, nor directed us to find any line's equation. It was left up to the student to figure out which tools might be handy. Don't be afraid of exercises like this. Yes, they can be long and messy. But even just trying them, rather than immediately throwing your hands up in defeat, will strengthen your skills &mdash as well as winning you some major "brownie points" with your instructor.


Finding Equations of Parallel and Perpendicular Lines

We have seen that the graph of a line is completely determined by two points or one point and its slope. Often you will be asked to find the equation of a line given some geometric relationship—for instance, whether the line is parallel or perpendicular to another line.

المثال 3: Find the equation of the line passing through (6, −1) and parallel to y = 1 2 x + 2 .

المحلول: Here the given line has slope m = 1 2 , and the slope of a line parallel is m ∥ = 1 2 . Since you are given a point and the slope, use the point-slope form of a line to determine the equation.

It is important to have a geometric understanding of this question. We were asked to find the equation of a line parallel to another line passing through a certain point.

Through the point (6, −1) we found a parallel line, y = 1 2 x − 4 , shown dashed. Notice that the slope is the same as the given line, but the ذ-intercept is different. If we keep in mind the geometric interpretation, then it will be easier to remember the process needed to solve the problem.

Example 4: Find the equation of the line passing through (−1, −5) and perpendicular to y = − 1 4 x + 2 .

المحلول: The given line has slope m = − 1 4 , and thus m ⊥ = + 4 1 = 4 . Substitute this slope and the given point into point-slope form.

Geometrically, we see that the line y = 4 x − 1 , shown dashed below, passes through (−1, −5) and is perpendicular to the given line.

It is not always the case that the given line is in slope-intercept form. Often you have to perform additional steps to determine the slope. The general steps for finding the equation of a line are outlined in the following example.

Example 5: Find the equation of the line passing through (8, −2) and perpendicular to 6 x + 3 y = 1 .

الخطوة 1: Find the slope م. First, find the slope of the given line. To do this, solve for ذ to change standard form to slope-intercept form, y = m x + b .

In this form, you can see that the slope is m = − 2 = − 2 1 , and thus m ⊥ = − 1 − 2 = + 1 2 .

الخطوة 2: Substitute the slope you found and the given point into the point-slope form of an equation for a line. In this case, the slope is m ⊥ = 1 2 and the given point is (8, −2).

الخطوه 3: Solve for ذ.

Example 6: Find the equation of the line passing through ( 7 2 , 1 ) and parallel to 2 x + 14 y = 7 .

المحلول: Find the slope م by solving for ذ.

The given line has the slope m = − 1 7 , and so m ∥ = − 1 7 . We use this and the point ( 7 2 , 1 ) in point-slope form.

Try this! Find the equation of the line perpendicular to x − 3 y = 9 and passing through ( − 1 2 , 2 ) .

حل الفيديو

When finding an equation of a line perpendicular to a horizontal or vertical line, it is best to consider the geometric interpretation.

Example 7: Find the equation of the line passing through (−3, −2) and perpendicular to y = 4 .

المحلول: We recognize that y = 4 is a horizontal line and we want to find a perpendicular line passing through (−3, −2).

If we draw the line perpendicular to the given horizontal line, the result is a vertical line.

Equations of vertical lines look like x = k . Since it must pass through (−3, −2), we conclude that x = − 3 is the equation. All ordered pair solutions of a vertical line must share the same x-تنسيق.

We can rewrite the equation of any horizontal line, y = k , in slope-intercept form as follows:

Written in this form, we see that the slope is m = 0 = 0 1 . If we try to find the slope of a perpendicular line by finding the opposite reciprocal, we run into a problem: m ⊥ = − 1 0 , which is undefined. This is why we took care to restrict the definition to two nonvertical lines. Remember that horizontal lines are perpendicular to vertical lines.


شاهد الفيديو: - الخطوط المتوازية للصف السابع (شهر نوفمبر 2021).