مقالات

1.8: ربط الدوال المثلثية - الرياضيات


أهداف التعلم

  • حدد العلاقات المتبادلة بين دوال حساب المثلثات ، واستخدم هذه الهويات لإيجاد قيم دوال حساب المثلثات.
  • حدد علاقات حاصل القسمة بين دوال المثلثات ، واستخدم هويات حاصل القسمة للعثور على قيم دوال المثلثات.
  • حدد المجال والمدى لكل دالة حساب المثلثات.
  • حدد علامة دالة حساب المثلثات ، بالنظر إلى الربع الذي تقع فيه الزاوية.
  • اذكر هويات فيثاغورس واستخدم هذه الهويات لإيجاد قيم دوال مثلثية.

الهويات المتبادلة والفيثاغورس

النوعان الأساسيان من الهويات المثلثية هما الهويات المتبادلة وهويات فيثاغورس. الهويات المتبادلة هي ببساطة تعريفات للمعاملين بالمثل للنسب المثلثية القياسية الثلاثة:
[ sec theta = frac {1} { cos theta} quad csc theta = frac {1} { sin theta} quad cot theta = frac {1} { تان ثيتا}
]

تذكر أيضًا تعريفات النسب المثلثية القياسية الثلاثة (الجيب وجيب التمام والظل):
[ ابدأ {مجموعة} {l}
sin theta = frac {o p p} {h y p}
cos theta = frac {a d j} {h y p}
tan theta = frac {o p} {a d y}
نهاية {مجموعة}
]

إذا نظرنا عن كثب إلى العلاقات بين الجيب وجيب التمام والظل ، فسنلاحظ أن ( frac { sin theta} { cos theta} = tan theta )
[ frac { sin theta} { cos theta} = frac { left ( frac {opp} {hyp} right)} { left ( frac {adv} {hyp} right) } = frac {opp} {hyp} * frac {hyp} {حاله = frac {مقابل} {حاله} = تان ثيتا
]

هويات فيثاغورس
بالطبع ، تستند متطابقات فيثاغورس إلى نظرية فيثاغورس. إذا تذكرنا مخططًا تم تقديمه في الفصل (2 ، ) يمكننا بناء هذه الهويات من العلاقات الموجودة في الرسم التخطيطي:

باستخدام نظرية فيثاغورس في هذا الرسم التخطيطي ، نرى أن (x ^ {2} + y ^ {2} = 1 ^ {2}، ) لذا (x ^ {2} + y ^ {2} = 1. ) لكن تذكر أيضًا أنه في دائرة الوحدة ، (x = cos theta ) و (y = sin theta )

استبدال هذه المساواة يعطينا أول هوية فيثاغورس:
[x ^ {2} + y ^ {2} = 1
] أو
[ cos ^ {2} theta + sin ^ {2} theta = 1
] عادة ما يتم ذكر هذه الهوية في النموذج:
[ sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1
]

إذا أخذنا هذه الهوية وقسمناها على كلا الجانبين على ( cos ^ {2} theta، ) فسيؤدي ذلك إلى أول هويتين إضافيتين فيثاغورس:
[ frac { sin ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta} + frac { cos ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta} = frac {1} { cos ^ {2} theta}
] أو
[ tan ^ {2} theta + 1 = sec ^ {2} ثيتا
]

القسمة على ( sin ^ {2} theta ) تعطينا ثانيًا:
[ frac { sin ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} + frac { cos ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta} = frac {1} { sin ^ {2} theta}
] أو
[1+ cot ^ {2} theta = csc ^ {2} ثيتا
] لذا ، فإن المتطابقات الثلاثة التي سنستخدمها هي:
[ ابدأ {مجموعة} {l}
sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1
tan ^ {2} theta + 1 = sec ^ {2} theta
1+ cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta
نهاية {مجموعة}
]

غالبًا ما يتم ذكر هذه الهويات فيثاغورس بعبارات أخرى ، مثل:
[ ابدأ {مجموعة} {l}
sin ^ {2} theta = 1- cos ^ {2} theta
cos ^ {2} theta = 1- sin ^ {2} theta
tan ^ {2} theta = sec ^ {2} theta-1
cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta-1
نهاية {مجموعة}
]

الآن بعد أن أصبح لدينا بعض الهويات الأساسية للعمل معها ، فلنستخدمها للتحقق من تساوي بعض العبارات الأكثر تعقيدًا. تتضمن عملية التحقق من الهويات المثلثية تغيير جانب واحد من التعبير المعطى إلى الجانب الآخر. نظرًا لأن هذه ليست معادلات حقًا ، فلن نتعامل معها بالطريقة التي نتعامل بها مع المعادلات. وهذا يعني أننا لن نضيف أو نطرح أي شيء لكلا طرفي العبارة (أو نضرب أو نقسم على أي شيء على كلا الجانبين أيضًا).

سبب آخر لعدم التعامل مع الهوية المثلثية على أنها معادلة هو أنه ، في الممارسة العملية ، تتضمن هذه العملية عادةً جانبًا واحدًا فقط من البيان. في حل المشكلات ، يستخدم علماء الرياضيات عادةً الهويات المثلثية لتغيير مظهر المشكلة دون تغيير قيمتها. في هذه العملية ، يتم تغيير التعبير المثلثي إلى تعبير مثلثي آخر بدلاً من إظهار أن التعبيرين المثلثيين متماثلان ، وهذا ما سنفعله.


الهويات المثلثية التي ناقشناها في هذا القسم ملخصة أدناه:

عادةً ما يتم استخدام الصيغة sin ( theta ) أو ( cos theta ) ، ومع ذلك يمكن استخدام أي حرف لتمثيل الزاوية المعنية طالما أنه الحرف نفسه في جميع التعبيرات. على سبيل المثال ، يمكننا أن نقول:
[ sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1
] أو يمكننا قول ذلك

[ sin ^ {2} x + cos ^ {2} x = 1
] ومع ذلك:
[ sin ^ {2} theta + cos ^ {2} x neq 1
] لأن ( theta ) و (س ) يمكن أن يكونا زاويتين مختلفتين!

هويات الحاصل

قادتنا تعريفات وظائف حساب المثلثات إلى الهويات المتبادلة ، والتي يمكن رؤيتها في المفهوم حول هذا الموضوع. إنها تقودنا أيضًا إلى مجموعة أخرى من الهويات ، الهويات خارج القسمة.

ضع في اعتبارك أولاً دوال الجيب وجيب التمام والظل. بالنسبة لزوايا الدوران (ليس بالضرورة في دائرة الوحدة) ، يتم تحديد هذه الوظائف على النحو التالي:

( start {align} sin theta & = dfrac {y} {r} cos theta & = dfrac {x} {r} tan theta & = dfrac {y} {x } نهاية {محاذاة} )

بالنظر إلى هذه التعريفات ، يمكننا إظهار أن ( tan theta = dfrac { sin theta} { cos theta} ) ، طالما ( cos theta neq 0 ):

( dfrac { sin theta} { cos theta} = dfrac { dfrac {y} {r}} { dfrac {x} {r}} = dfrac {y} {r} مرات dfrac {r} {x} = dfrac {y} {x} = tan theta ).

المعادلة ( tan theta = dfrac { sin theta} { cos theta} ) هي بالتالي هوية يمكننا استخدامها لإيجاد قيمة دالة الظل ، بالنظر إلى قيمة الجيب وجيب التمام .

لنلقِ نظرة على بعض المشكلات التي تتضمن متطابقات خارج القسمة.

1. أوجد قيمة ( tan theta )؟

إذا ( cos theta = dfrac {5} {13} ) و ( sin theta = dfrac {12} {13} ) ، فما قيمة ( tan theta ) ؟

( tan theta = dfrac {12} {5} )

( tan theta = dfrac { sin theta} { cos theta} = dfrac { dfrac {12} {13}} { dfrac {5} {13}} = dfrac {12} {13} times dfrac {13} {5} = dfrac {12} {5} )

2. أظهر أن ( cot theta = dfrac { cos theta} { sin theta} )

( cos theta sin theta = dfrac { dfrac {x} {r}} { dfrac {y} {r}} = dfrac {x} {r} times dfrac {r} { y} = dfrac {x} {y} = cot theta )

3. ما هي قيمة ( cot theta )؟

إذا ( cos theta = dfrac {7} {25} ) و ( sin theta = dfrac {24} {25} ) ، فما قيمة ( cot theta ) ؟

( cot theta = dfrac {7} {24} )

( cot theta = dfrac { cos theta} { sin theta} = dfrac { dfrac {7} {25}} { dfrac {24} {25}} = dfrac {7} {25} times dfrac {25} {24} = dfrac {7} {24} )

مثال ( PageIndex {3} )

إذا ( sin theta = dfrac {63} {65} ) و ( cos theta = dfrac {16} {65} ) ، فما قيمة ( tan theta ) ؟

المحلول

( tan theta = dfrac {63} {16} ). يمكننا أن نرى هذا من خلال علاقة دالة الظل:

( tan theta = dfrac { sin theta} { cos theta} = dfrac { dfrac {63} {65}} { dfrac {16} {65}} = dfrac {63} {65} times dfrac {65} {16} = dfrac {63} {16} )

مثال ( PageIndex {4} )

إذا ( tan theta = dfrac {40} {9} ) و ( cos theta = dfrac {9} {41} ) ، فما قيمة ( sin theta ) ؟

المحلول

( sin theta = dfrac {40} {41} ). يمكننا أن نرى هذا من خلال علاقة دالة الظل:

( start {align} tan theta & = dfrac { sin theta} { cos theta} sin theta & = ( tan theta) ( cos theta) sin theta & = dfrac {40} {9} times dfrac {9} {41} sin theta & = dfrac {40} {41} end {align} )

إعادة النظر

املأ كل فراغ بالدالة المثلثية.

  1. إذا ( cos theta = dfrac {1} {2} ) و ( cot theta = dfrac { sqrt {3}} {3} ) ، ما قيمة ( sin ثيتا)؟
  2. إذا ( tan theta = 0 ) و ( cos theta = −1 ) ، فما قيمة ( sin theta )؟
  3. إذا ( cot theta = −1 ) و ( sin theta = - dfrac { sqrt {2}} {2} ) ، فما قيمة ( cos theta )؟

كلمات

شرطتعريف
هوية الحاصلمتطابقة خارج القسمة هي هوية تربط ظل الزاوية بجيب الزاوية مقسومًا على جيب تمام الزاوية.

مصادر إضافية

فيديو: المتطابقات المقلوبة والحاصل والفيثاغورس

هويات الوظيفة المشتركة

متطابقة الوظيفة المشتركة هي علاقة بين دالة مثلثية لزاوية ودالة مثلثية أخرى لتكملة تلك الزاوية.

في المثلث الأيمن ، يمكنك تطبيق ما يسمى "هويات الوظيفة المشتركة". هذه تسمى هويات الوظيفة المشتركة لأن الوظائف لها قيم مشتركة. يتم تلخيص هذه الهويات أدناه.


تعريف الدوال المثلثية & # 038 الصيغ الأساسية

في المثلث القائم الزاوية ABC ، ​​∠CAB = A و ∠BCA = 90 ° = π / 2. AC هو القاعدة ، BC هو الارتفاع و AB هو الوتر.

نشير إلى القاعدة على أنها الضلع المجاور وإلى الارتفاع على أنه الضلع المقابل. هناك ست نسب مثلثية ، وتسمى أيضًا الدوال المثلثية أو الدوال الدائرية. فيما يتعلق بالزاوية أ ، فإن النسب الستة هي:

يسمى جيب أ ، ومكتوب كـ sinA

يسمى جيب تمام الزاوية A ، ويتم كتابته كـ cosA

يسمى الظل لـ A ، ويكتب كـ tanA

من الواضح أن $ large tanA = frac $

تسمى المقلوب للجيب وجيب التمام والظل قاطع التمام والقاطع والظل التمام لـ A على التوالي. نكتبها كـ cosecA، secA، cot A على التوالي.

نظرًا لأن الوتر هو الضلع الأكبر في مثلث قائم الزاوية ، فلا يمكن أبدًا أن يكون sin A و cos A أكبر من واحد و cosecA و sec A لا يمكن أبدًا أن يكونا أقل من واحد.

ومن ثم ، فإن | sinA | ≤ 1 ، | كوس أ | ≤ 1 ، | cosec A | ≥ 1 ، | ثانية أ | ≥1 ، في حين أن tan A و cot A قد يكون لهما أي قيمة عددية تقع بين - ∞ إلى + ∞

تلاحظ:

الطريقة المذكورة أعلاه المتعلقة بالدوال المثلثية بزوايا وجوانب المثلث تسمى التعريف الهندسي للوظائف المثلثية.

♦ جميع الدوال المثلثية الست لها خاصية مشتركة مهمة جدًا وهي دورية.

♦ تذكر أن النسب المثلثية هي أعداد حقيقية وتبقى كما هي طالما أن الزوايا حقيقية.

الصيغ الأساسية:

من الممكن التعبير عن نسبة مثلثية من حيث أي واحدة من النسب الأخرى:

على سبيل المثال ، تم التعبير عن جميع الدوال المثلثية من حيث cotθ. يتم ترك هذا كتمرين لك لاستخلاص هذه النتائج. كتلميح لك ، عبر عن مقام الكسر الذي يعرف cot على أنه الوحدة (أي القاعدة كوحدة) وشكل مثلثًا قائم الزاوية للتعبير عن الأضلاع والمضي قدمًا.

توضيح : عبر عن tanθ بدلالة cosθ.

$ كبير كوس ثيتا = فارك = فارك<1> $ حيث يتم أخذ OB كوحدة و OA = x

توضيح : إذا كانت sinθ + sin 2 θ = 1 ، فأثبت ذلك

cos 12 θ + 3 cos 10 θ + 3 cos 8 + cos 6 θ - 1 = 0.

إذا كانت sinθ = 1 - sin 2 θ = cos 2

LHS = cos 6 θ (cos 2 θ + 1) 3-1

توضيح :اثبت ذلك :

(tanθ + cotθ) 2 = tan 2 θ + cot 2 θ + 2

= sec 2 θ - 1 + cosec 2 - 1 + 2

(i) إذا كانت sin x + cos x = m و sec x + cosec x = n اثبت أن n (m 2 & # 8211 1) = 2 m.

(ii) إذا كانت x sin 3 + y cos 3 θ = sinθ و x sinθ & # 8211 y cosθ = 0 ، أثبت أن x 2 + y 2 = 1

(4) إذا كانت sec α + btan α = d و b sec α + a tan α = c ، أثبت أن a 2 + c 2 = b 2 + d 2


محتويات

في هذا القسم ، يشير نفس الحرف الكبير إلى رأس المثلث وقياس الزاوية المقابلة يشير الحرف الصغير نفسه إلى حافة المثلث وطوله.

إذا كانت الزاوية الحادة A = θ لمثلث قائم الزاوية ، فإن الوتر c هو الضلع الذي يربط بين الزاويتين الحادتين. الجانب ب المجاور ل θ هو ضلع المثلث الذي يربط بالزاوية القائمة. ويقال أن الجانب الثالث أ يكون ضد إلى θ.

إذا أعطيت الزاوية θ ، فإن كل جوانب المثلث القائم الزاوية محددة جيدًا حتى تصل إلى عامل قياس. هذا يعني أن النسبة بين أطوال ضلعين تعتمد فقط على. وبالتالي تحدد هذه النسب الست ست وظائف لـ θ ، وهي الدوال المثلثية. بتعبير أدق ، الدوال المثلثية الست هي: [4] [5]

خطيئة الجيب ⁡ θ = أ ج = س ع ف س أنا t. ه y p o t e n u s e > = < فارك < mathrm > < mathrm >>> cosecant csc ⁡ θ = c a = h y p o t e n u s e o p p o s i t e > = < فارك < mathrm > < mathrm >>>
cos ⁡ θ = b c = a d j a c e n t h y p o t e n u s e > = < فارك < mathrm > < mathrm >>> secant sec ⁡ θ = c b = h y p o t e n u s e a d j a c e n t > = < فارك < mathrm > < mathrm >>>
tangent tan ⁡ θ = a b = o p p o s i t e a d j a c e n t > = < فارك < mathrm > < mathrm >>> cotangent cot ⁡ θ = b a = a d j a c e n t o p p o s i t e > = < فارك < mathrm > < mathrm >>>

في التطبيقات الهندسية ، تكون حجة الدالة المثلثية عمومًا هي قياس الزاوية. لهذا الغرض ، تكون أي وحدة زاوية مناسبة ، ويتم قياس الزوايا بشكل أكثر شيوعًا بالوحدات التقليدية للدرجات التي تكون فيها الزاوية اليمنى 90 درجة والانعطاف الكامل 360 درجة (خاصة في الرياضيات الأولية).

ومع ذلك ، في حساب التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي ، يُنظر إلى الدوال المثلثية عمومًا بشكل أكثر تجريدًا على أنها وظائف لأرقام حقيقية أو معقدة ، بدلاً من الزوايا. في الواقع ، يمكن تعريف الدالتين الجيب وجيب التمام لجميع الأعداد المركبة من حيث الدالة الأسية عبر سلسلة القوى [7] أو كحلول للمعادلات التفاضلية مع إعطاء قيم أولية معينة [8] (انظر أدناه) ، دون الإشارة إلى أي مفاهيم هندسية. يمكن تعريف الدوال المثلثية الأربعة الأخرى (tan، cot، sec، csc) على أنها حاصل قسمة ومقلوب للجيب وجيب التمام ، إلا إذا كان الصفر موجودًا في المقام. يمكن إثبات ، للحجج الحقيقية ، أن هذه التعريفات تتوافق مع التعريفات الهندسية الأولية لو تعتبر الوسيطة زاوية معطاة بالتقدير الدائري. [7] علاوة على ذلك ، ينتج عن هذه التعريفات تعبيرات بسيطة للمشتقات والتكاملات غير المحددة للدوال المثلثية. [9] وهكذا ، في الإعدادات التي تتجاوز الهندسة الأولية ، يُنظر إلى الراديان على أنه الوحدة الطبيعية رياضياً لوصف قياسات الزاوية.

عند استخدام الراديان (rad) ، تُعطى الزاوية على أنها طول قوس دائرة الوحدة المقابلة لها: الزاوية التي تقابل قوسًا بطول 1 على دائرة الوحدة هي 1 rad (≈ 57.3 °) ، و a الدوران الكامل (360 درجة) هو زاوية 2 2 (6.28) راد. للعدد الحقيقي x، الرموز الخطيئة x، كوس x، إلخ. تشير إلى قيمة الدوال المثلثية بزاوية x راد. إذا كانت وحدات الدرجات مقصودة ، فيجب إظهار علامة الدرجة صراحة (على سبيل المثال ، الخطيئة س °، كوس س °، إلخ.). باستخدام هذا الترميز القياسي ، الحجة x للوظائف المثلثية ترضي العلاقة x = (180x/ π) ° ، بحيث ، على سبيل المثال ، sin π = sin 180 ° عندما نأخذ x = π. بهذه الطريقة ، يمكن اعتبار رمز الدرجة ثابتًا رياضيًا مثل 1 ° = π / 180 ≈ 0.0175.

يمكن تعريف الدوال المثلثية الست على أنها قيم إحداثيات للنقاط على المستوى الإقليدي المرتبطة بدائرة الوحدة ، وهي دائرة نصف القطر التي تتمركز في الأصل O لنظام الإحداثيات هذا. بينما تسمح تعريفات المثلث القائم الزاوية بتعريف الدوال المثلثية للزوايا بين 0 و π 2 < textstyle < frac < pi> <2> >> راديان (90 درجة) ، تسمح تعريفات دائرة الوحدة بمجال تمتد الدوال المثلثية لتشمل جميع الأعداد الحقيقية الموجبة والسالبة.

يتم تعريف الدوال المثلثية cos و sin ، على التوالي ، على أنهما x- و ذ- القيم المنسقة للنقطة أ. هذا هو،

يمكن إيجاد الدوال المثلثية الأخرى على طول دائرة الوحدة كـ

من خلال تطبيق هوية فيثاغورس وطرق الإثبات الهندسي ، يمكن بسهولة إظهار هذه التعريفات لتتوافق مع تعريفات الظل ، ظل التمام ، القاطع وقاطع التمام من حيث الجيب وجيب التمام ، أي

احتفظ بأي زاوية θ وأي عدد صحيح ك. وينطبق الشيء نفسه على الدوال المثلثية الأربع الأخرى. من خلال ملاحظة الإشارة ورتابة الوظائف الجيب وجيب التمام وقاطع التمام والقاطع في الأرباع الأربعة ، يمكن للمرء أن يُظهر أن 2 هي أصغر قيمة تكون دورية بالنسبة لها (أي 2 هي الفترة الأساسية لهذه الوظائف ). ومع ذلك ، بعد الدوران بزاوية π < displaystyle pi> ، تعود النقطتان B و C بالفعل إلى موضعهما الأصلي ، بحيث يكون لدالة الظل ودالة ظل التمام فترة أساسية من π. هذا هو ، المساواة

احتفظ بأي زاوية θ وأي عدد صحيح ك.

فيما يلي التعبيرات الجبرية لأهم الزوايا:

كتابة البسط على هيئة جذور تربيعية لأعداد صحيحة متتالية غير سالبة ، مع مقام 2 ، يوفر طريقة سهلة لتذكر القيم. [12]

لا توجد مثل هذه التعبيرات البسيطة عمومًا للزوايا الأخرى التي تعد مضاعفات منطقية لزاوية مستقيمة. بالنسبة للزاوية التي تُقاس بالدرجات ، فهي من مضاعفات ثلاثة ، يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام من حيث الجذور التربيعية ، انظر الثوابت المثلثية المعبر عنها بالجذور الحقيقية. وبالتالي يمكن بناء قيم الجيب وجيب التمام بواسطة المسطرة والبوصلة.

بالنسبة لزاوية عدد صحيح من الدرجات ، يمكن التعبير عن الجيب وجيب التمام من حيث الجذور التربيعية والجذر التكعيبي لعدد مركب غير حقيقي. تسمح نظرية جالوا بإثبات أنه إذا لم تكن الزاوية من مضاعفات 3 درجات ، فلا مفر من وجود جذور تكعيبية غير حقيقية.

بالنسبة للزاوية التي تُقاس بالدرجات ، فهي رقم نسبي ، فإن الجيب وجيب التمام عبارة عن أرقام جبرية ، والتي يمكن التعبير عنها بدلالة الجذور n. ينتج هذا عن حقيقة أن مجموعات جالوا في كثيرات الحدود الحلقية تكون دورية.

بالنسبة للزاوية التي تُقاس بالدرجات ، فهي ليست رقمًا منطقيًا ، فإن الزاوية أو كلا من الجيب وجيب التمام هما رقمان متساميان. هذه نتيجة طبيعية لنظرية بيكر ، التي تم إثباتها عام 1966.

تحرير القيم الجبرية البسيطة

يلخص الجدول التالي أبسط القيم الجبرية للدوال المثلثية. [13] يمثل الرمز ∞ < displaystyle infty> النقطة عند اللانهاية على الخط الحقيقي الممتد بشكل إسقاطي ، لم يتم توقيعه ، لأنه عندما يظهر في الجدول ، تميل الوظيفة المثلثية المقابلة إلى + ∞ على جانب واحد ، وإلى - ∞ < displaystyle - infty> على الجانب الآخر ، عندما تميل الوسيطة إلى القيمة في الجدول.

الاتجاه الحديث في الرياضيات هو بناء الهندسة من حساب التفاضل والتكامل وليس العكس. [ بحاجة لمصدر ] لذلك ، باستثناء المستوى الأولي للغاية ، يتم تعريف الدوال المثلثية باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل.

الدوال المثلثية قابلة للتفاضل والتحليل في كل نقطة حيث يتم تعريفها ، أي في كل مكان لجيب الجيب وجيب التمام ، وبالنسبة للظل ، في كل مكان باستثناء at / 2 + ك π لكل عدد صحيح ك.

الدالة المثلثية هي دوال دورية ، ودورتها الأولية هي 2 π للجيب وجيب التمام ، و للماس ، والتي تزداد في كل فترة مفتوحة (π / 2 + ك π ، / 2 + (ك + 1) π). في كل نقطة نهاية من هذه الفواصل الزمنية ، يكون للدالة المماس خط مقارب عمودي.

في حساب التفاضل والتكامل ، يوجد تعريفان متكافئان للوظائف المثلثية ، إما باستخدام سلسلة القدرة أو المعادلات التفاضلية. هذه التعريفات متكافئة ، بدءًا من أحدهما ، يسهل استرداد الآخر كخاصية. ومع ذلك ، فإن التعريف من خلال المعادلات التفاضلية هو أكثر طبيعية إلى حد ما ، لأنه ، على سبيل المثال ، قد يبدو اختيار معاملات سلسلة القوة تعسفيًا تمامًا ، ومن السهل جدًا استنتاج هوية فيثاغورس من المعادلات التفاضلية.

التعريف بالمعادلات التفاضلية تحرير

الجيب وجيب التمام هما وظائف فريدة قابلة للتفاضل من هذا القبيل

عند التفريق بين هذه المعادلات ، نجد أن كلا من الجيب وجيب التمام هما حلان للمعادلة التفاضلية

بتطبيق قاعدة خارج القسمة على تعريف الظل على أنه حاصل قسمة الجيب بواسطة جيب التمام ، يحصل المرء على أن دالة الظل تتحقق

تعديل سلسلة الطاقة

بتطبيق المعادلات التفاضلية على سلسلة الطاقة ذات المعاملات غير المحددة ، يمكن للمرء أن يستنتج علاقات التكرار لمعاملات سلسلة تايلور لوظائف الجيب وجيب التمام. من السهل حل علاقات التكرار هذه ، وتمنح السلسلة توسعات [14]

نصف قطر التقارب لهذه السلسلة لانهائي. لذلك ، يمكن أن يمتد الجيب وجيب التمام إلى وظائف كاملة (تسمى أيضًا "الجيب" و "جيب التمام") ، وهي (بحكم التعريف) وظائف ذات قيمة معقدة يتم تعريفها وشكلها على المستوى المعقد بأكمله.

يتم تعريف الدوال المثلثية الأخرى على أنها كسور من الوظائف بأكملها ، ويمكن توسيعها لتشمل وظائف ذات شكل متماثل ، وهي وظائف كاملة الشكل في المستوى المعقد بأكمله ، باستثناء بعض النقاط المعزولة التي تسمى الأعمدة. هنا ، الأقطاب هي أرقام النموذج (2 k + 1) π 2 <2> >> للماس والقاطع ، أو k π < displaystyle k pi> لـ cotangent و cosecant ، حيث k هو عدد صحيح تعسفي.

يمكن أيضًا حساب علاقات التكرار لمعاملات سلسلة تايلور للوظائف المثلثية الأخرى. هذه السلسلة لها نصف قطر محدود من التقارب. معاملاتهم لها تفسير اندماجي: فهي تعدد التبديلات المتناوبة للمجموعات المحدودة. [15]

واحد لديه سلسلة التوسعات التالية: [16]

توسيع الكسر الجزئي تحرير

يوجد تمثيل متسلسل كتوسيع جزئي للكسر حيث يتم تلخيص الوظائف التبادلية المترجمة فقط ، بحيث تتطابق أقطاب دالة ظل التمام والوظائف المقلوبة: [17]

يمكن إثبات هذه الهوية من خلال خدعة Herglotz. [18] الجمع بين (-ن) عشر مع ن يؤدي المصطلح إلى سلسلة متقاربة تمامًا:

وبالمثل ، يمكن للمرء أن يجد تمددًا جزئيًا لكسر للدوال القاطعة ، وقاطع التمام ، والظل:

تحرير توسيع المنتج اللانهائي

المنتج اللانهائي التالي للجيب له أهمية كبيرة في التحليل المعقد:

لإثبات هذا التوسع ، انظر Sine. من هذا يمكن استنتاج ذلك

العلاقة بالدالة الأسية (صيغة أويلر) تحرير

تعتبر هذه الصيغة بشكل عام للقيم الحقيقية لـ x ، لكنها تظل صحيحة لجميع القيم المعقدة.

حل هذا النظام الخطي في الجيب وجيب التمام ، يمكن للمرء التعبير عنها من حيث الوظيفة الأسية:

عندما تكون x حقيقية ، يمكن إعادة كتابتها كـ

يمكن إثبات معظم الهويات المثلثية من خلال التعبير عن الدوال المثلثية من حيث الوظيفة الأسية المعقدة باستخدام الصيغ أعلاه ، ثم استخدام الهوية e a + b = e a e b < displaystyle e ^= e ^ e ^> لتبسيط النتيجة.

تعريفات باستخدام المعادلات الوظيفية تحرير

يمكن للمرء أيضًا تحديد الدوال المثلثية باستخدام معادلات وظيفية مختلفة.

على سبيل المثال ، [19] يشكل الجيب وجيب التمام الزوج الفريد من الدوال المستمرة التي تحقق معادلة الفرق

cos ⁡ (x - y) = cos ⁡ x cos ⁡ y + sin ⁡ x sin ⁡ y

في المستوى المعقد تحرير

من خلال الاستفادة من تلوين المجال ، من الممكن رسم الدوال المثلثية كوظائف ذات قيمة معقدة. يمكن رؤية الميزات المختلفة الفريدة للوظائف المعقدة من الرسم البياني على سبيل المثال ، يمكن رؤية وظائف الجيب وجيب التمام على أنها غير محدودة حيث يصبح الجزء التخيلي من z < displaystyle z> أكبر (لأن اللون الأبيض يمثل اللانهاية) ، و تتضح حقيقة أن الوظائف تحتوي على أصفار أو أعمدة بسيطة من حقيقة أن التدرج اللوني يدور حول كل صفر أو قطب مرة واحدة بالضبط. مقارنة هذه الرسوم البيانية مع تلك الخاصة بالوظائف الزائدية المقابلة يبرز العلاقات بين الاثنين.

ترتبط العديد من الهويات بالوظائف المثلثية. يحتوي هذا القسم على العناصر الأساسية لمزيد من الهويات ، راجع قائمة الهويات المثلثية. يمكن إثبات هذه الهويات هندسيًا من تعريفات دائرة الوحدة أو تعريفات المثلث القائم الزاوية (على الرغم من أنه ، بالنسبة للتعريفات الأخيرة ، يجب توخي الحذر للزوايا التي ليست في الفترة الزمنية [0 ، / 2] ، انظر البراهين من الهويات المثلثية). بالنسبة إلى البراهين غير الهندسية التي تستخدم أدوات حساب التفاضل والتكامل فقط ، يمكن للمرء استخدام المعادلات التفاضلية مباشرةً ، بطريقة مشابهة لتلك الخاصة بإثبات هوية أويلر أعلاه. يمكن للمرء أيضًا استخدام هوية أويلر للتعبير عن جميع الدوال المثلثية من حيث الأسي المعقدة واستخدام خصائص الدالة الأسية.

تحرير التكافؤ

إن جيب التمام والقاطع هما دالاتان ، أما الدوال المثلثية الأخرى فهي دوال فردية. هذا هو:

تحرير الفترات

جميع الدوال المثلثية هي وظائف دورية للفترة 2 π. هذه هي أصغر فترة ، باستثناء الظل والظل ، والتي لها π أصغر فترة. هذا يعني أنه لكل عدد صحيح ك ، واحد لديه

تحرير هوية فيثاغورس

متطابقة فيثاغورس ، هي تعبير عن نظرية فيثاغورس من حيث الدوال المثلثية. أنه

تحرير صيغ الجمع والفرق

تسمح معادلات المجموع والفرق بتوسيع الجيب وجيب التمام والظل لمجموع أو فرق بين زاويتين من حيث الجيب وجيب التمام وظلال الزوايا نفسها. يمكن اشتقاقها هندسيًا باستخدام الحجج التي تعود إلى بطليموس. يمكن للمرء أيضًا إنتاجها جبريًا باستخدام صيغة أويلر.

عندما تكون الزاويتان متساويتين ، تختزل معادلات المجموع إلى معادلات أبسط تُعرف باسم صيغ مزدوجة الزاوية.

يمكن استخدام هذه الهويات لاشتقاق هويات المنتج إلى المجموع.

هذا هو تعويض نصف الزاوية المماس ، والذي يسمح بتقليل حساب التكاملات والمشتقات العكسية للدوال المثلثية إلى حساب الكسور المنطقية.

المشتقات والمشتقات العكسية Edit

مشتقات الدوال المثلثية تنتج من تلك الخاصة بالجيب وجيب التمام من خلال تطبيق قاعدة خارج القسمة. يمكن التحقق من القيم المعطاة للمشتقات العكسية في الجدول التالي عن طريق التمييز بينها. الرقم C هو ثابت تكامل.

بدلاً من ذلك ، يمكن الحصول على مشتقات "الوظائف المشتركة" باستخدام الهويات المثلثية وقاعدة السلسلة:

الدوال المثلثية دورية ، وبالتالي فهي ليست عن طريق الحقن ، لذلك بالمعنى الدقيق للكلمة ، ليس لها وظيفة عكسية. ومع ذلك ، في كل فترة زمنية تكون فيها الدالة المثلثية رتيبة ، يمكن للمرء تحديد دالة عكسية ، وهذا يحدد الدوال المثلثية العكسية كوظائف متعددة القيم. لتحديد دالة عكسية حقيقية ، يجب على المرء أن يقيد المجال بفاصل زمني حيث تكون الوظيفة رتيبة ، وبالتالي تكون حيوية من هذه الفترة إلى صورتها بواسطة الوظيفة. الاختيار الشائع لهذه الفترة الزمنية ، يسمى مجموعة القيم الأساسية ، يرد في الجدول التالي. كالعادة ، يتم الإشارة إلى الدوال المثلثية العكسية بالبادئة "القوس" قبل اسم الدالة أو اختصارها.

غالبًا ما تستخدم الترميزات sin −1 و cos −1 وما إلى ذلك في arcsin و arccos وما إلى ذلك. عند استخدام هذا الترميز ، يمكن الخلط بين الدوال العكسية والمقلوب المضاعفة. يتجنب التدوين ببادئة "القوس" مثل هذا الالتباس ، على الرغم من أنه يمكن الخلط بين كلمة "قوس ثانية" للقوس القوسي مع "ثانية قوسية".

تمامًا مثل الجيب وجيب التمام ، يمكن أيضًا التعبير عن الدوال المثلثية العكسية بدلالة المتسلسلات اللانهائية. يمكن أيضًا التعبير عنها من حيث اللوغاريتمات المعقدة.

زوايا وجوانب المثلث تحرير

في هذه الأقسام ، تشير أ ، ب ، ج إلى الزوايا الثلاث (الداخلية) للمثلث ، وتشير أ ، ب ، ج إلى أطوال الحواف المقابلة. ترتبط بصيغ مختلفة ، يتم تسميتها من خلال الدوال المثلثية التي تنطوي عليها.

قانون الجيب تحرير

ال قانون الجيب ينص على أنه بالنسبة لمثلث عشوائي به جوانب أ و ب وج وزوايا متقابلة لتلك الأضلاع أ وب وج:

حيث Δ هي مساحة المثلث ، أو على نحو مكافئ ،

يمكن إثبات ذلك بتقسيم المثلث إلى قسمين صحيحين واستخدام التعريف أعلاه للجيب. يعتبر قانون الجيب مفيدًا لحساب أطوال الأضلاع المجهولة في المثلث إذا كانت زاويتان وضلع معروفين. هذا هو الوضع الشائع الذي يحدث في التثليث، وهي تقنية لتحديد المسافات غير المعروفة عن طريق قياس زاويتين ومسافة مغلقة يمكن الوصول إليها.

تحرير قانون جيب التمام

ال قانون جيب التمام (المعروف أيضًا باسم صيغة جيب التمام أو قاعدة جيب التمام) هو امتداد لنظرية فيثاغورس:

في هذه الصيغة ، تكون الزاوية عند C مقابل الضلع c. يمكن إثبات هذه النظرية بتقسيم المثلث إلى قسمين صحيحين واستخدام نظرية فيثاغورس.

يمكن استخدام قانون جيب التمام لتحديد أحد أضلاع المثلث إذا كان الضلعان والزاوية بينهما معروفين. يمكن استخدامه أيضًا للعثور على جيب التمام لزاوية (وبالتالي الزوايا نفسها) إذا كانت أطوال جميع الأضلاع معروفة.

تحرير قانون الظل

كل ما يلي يشكل قانون الظلال [20]

قد يكون شرح الصيغ في الكلمات مرهقًا ، لكن أنماط المجاميع والاختلافات ، للأطوال والزوايا المقابلة المقابلة ، واضحة في النظرية.

تحرير قانون ظل التمام

> (نصف قطر الدائرة المنقوشة للمثلث)

> (محيط المثلث) ،

ثم كل ما يلي يشكل قانون الظل [20]

في الكلمات ، فإن النظرية هي: ظل التمام لنصف زاوية يساوي نسبة نصف المحيط ناقص الضلع المقابل للزاوية المذكورة ، إلى نصف القطر للمثلث.

الوظائف الدورية تحرير

الدوال المثلثية مهمة أيضًا في الفيزياء. تُستخدم وظائف الجيب وجيب التمام ، على سبيل المثال ، لوصف الحركة التوافقية البسيطة ، التي تمثل العديد من الظواهر الطبيعية ، مثل حركة كتلة مرتبطة بنابض ، وبالنسبة للزوايا الصغيرة ، فإن الحركة الانسيابية لكتلة معلقة بواسطة سلسلة. دالتا الجيب وجيب التمام عبارة عن إسقاطات أحادية البعد لحركة دائرية موحدة.

أثبتت الدوال المثلثية أيضًا أنها مفيدة في دراسة الوظائف الدورية العامة. تعد أنماط الموجات المميزة للوظائف الدورية مفيدة في نمذجة الظواهر المتكررة مثل الصوت أو الموجات الضوئية. [21]

في ظل ظروف عامة إلى حد ما ، وظيفة دورية F(x) كمجموع موجات جيبية أو موجات جيب التمام في سلسلة فورييه. [22] تدل على دالة الجيب أو أساس جيب التمام بواسطة φك ، توسيع الوظيفة الدورية F(ر) يأخذ النموذج:

على سبيل المثال ، يمكن كتابة الموجة المربعة على أنها سلسلة فورييه

في الرسوم المتحركة للموجة المربعة في أعلى اليمين ، يمكن ملاحظة أن عددًا قليلاً فقط من المصطلحات ينتج بالفعل تقريبًا جيدًا إلى حد ما. يظهر تراكب عدة مصطلحات في تمدد موجة سن المنشار تحتها.

في حين أن الدراسة المبكرة لعلم المثلثات يمكن إرجاعها إلى العصور القديمة ، فقد تم تطوير الوظائف المثلثية كما هي قيد الاستخدام اليوم في فترة العصور الوسطى. تم اكتشاف وظيفة الوتر من قبل هيبارخوس نيقية (180-125 قبل الميلاد) وبطليموس الروماني مصر (90–165 م). وظائف الجيب و الآية (1 - جيب التمام) يمكن إرجاعها إلى جيا و كوتي جيا الوظائف المستخدمة في علم الفلك الهندي فترة جوبتا (أرياباتيا, سوريا سيدانتا) ، من خلال الترجمة من السنسكريتية إلى العربية ثم من العربية إلى اللاتينية. [23] (انظر طاولة الجيب الخاصة بأرياباتا.)

كانت جميع الدوال المثلثية الست المستخدمة حاليًا معروفة في الرياضيات الإسلامية بحلول القرن التاسع ، كما كان قانون الجيب المستخدم في حل المثلثات. [24] باستثناء شرط الجيب (الذي تم اعتماده من الرياضيات الهندية) ، اكتشف علماء الرياضيات الفارسيون والعرب الدوال المثلثية الخمس الحديثة الأخرى ، بما في ذلك جيب التمام ، الظل ، ظل التمام ، القاطع وقاطع التمام. [24] الخوارزمي (حوالي 780 - 850) أنتج جداول من الجيب وجيب التمام والظل. حوالي 830 ، اكتشف حبش الحسيب المروزي ظل التمام ، وأنتج جداول من الظلال والظلال. [25] [26] اكتشف محمد بن جابر الحراني البطاني (853-929) الدوال التبادلية للقاطع القاطع وجام التمام ، وأنتج الجدول الأول من قاطعات التمام لكل درجة من 1 درجة إلى 90 درجة. [26] تمت دراسة الدوال المثلثية لاحقًا من قبل علماء الرياضيات بما في ذلك عمر الخيام ، وبهاسكارا الثاني ، وناصر الدين الطوسي ، وجمشيد الكاشي (القرن الرابع عشر) ، وألوك بيك (القرن الرابع عشر) ، وريجيومونتانوس (1464) ، وريتيكوس ، و طالب ريتيكوس فالنتينوس أوتو.

قام Madhava of Sangamagrama (سي 1400) بخطوات مبكرة في تحليل الدوال المثلثية من حيث السلاسل اللانهائية. [27] (انظر سلسلة Madhava وجدول الجيب Madhava.)

الشروط ظل و قاطع تم تقديمه لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الدنماركي توماس فينك في كتابه Geometria rotundi (1583). [28]

قام عالم الرياضيات الفرنسي ألبرت جيرار من القرن السابع عشر بأول استخدام منشور للاختصارات الخطيئة, كوس، و تان في كتابه مثلث. [29]

في بحث نُشر عام 1682 ، أثبت لايبنتز هذه الخطيئة x ليست دالة جبرية لـ x. [30] على الرغم من تقديمها كنسب لأضلاع مثلث قائم الزاوية ، وبالتالي تبدو وظائف عقلانية ، أثبتت نتيجة Leibnitz أنها في الواقع وظائف متعالية للحجج. أنجز أويلر مهمة استيعاب الوظائف الدائرية في التعبيرات الجبرية مقدمة في تحليل اللانهائي (1748). كانت طريقته هي إظهار أن وظائف الجيب وجيب التمام هي سلسلة متناوبة مكونة من المصطلحات الفردية والزوجية على التوالي للسلسلة الأسية. قدم "صيغة أويلر" ، بالإضافة إلى الاختصارات شبه الحديثة (الخطيئة., كوس., تانغ., سرير نقال., ثانية.، و cosec.). [23]

كانت بعض الدوال شائعة تاريخيًا ، لكنها نادرًا ما تُستخدم الآن ، مثل الوتر ، والآية (التي ظهرت في أقدم الجداول [23]) ، والغطاء ، والهافرسين ، [31] والمُفْرِض والمُتفرج. تظهر قائمة الهويات المثلثية المزيد من العلاقات بين هذه الوظائف.

  • crd (θ) = 2 خطيئة (
  • θ / 2 )
  • فيرين (θ) = 1 - كوس (θ) = 2 خطيئة 2 (
  • θ / 2 )
  • يغطي (θ) = 1 - الخطيئة (θ) = فيشين (
  • π / 2 - θ)
  • هافرسين (θ) =
  • 1/2 في الآية (θ) = الخطيئة 2 (
  • θ / 2 )
  • exsec (θ) = ثانية (θ) − 1
  • excsc (θ) = exsec (
  • π / 2 - θ) = CSC (θ) − 1

الكلمة شرط [32] مشتق من اللاتينية التجويف، والتي تعني "bend bay" ، وبشكل أكثر تحديدًا "الطية المعلقة للجزء العلوي من التوجة" ، "حضن الثوب" ، والتي تم اختيارها لترجمة ما تم تفسيره على أنه الكلمة العربية جايب، بمعنى "الجيب" أو "الطي" في ترجمات القرن الثاني عشر لأعمال البتاني والخوارزمي إلى اللاتينية في العصور الوسطى. [33] اعتمد الاختيار على قراءة خاطئة للشكل العربي المكتوب ي-ص-ب (جيب) ، والتي نشأت نفسها كتحويل صوتي من اللغة السنسكريتية جوفاوالتي جنبا إلى جنب مع مرادفها جيا (المصطلح السنسكريتي القياسي للجيب) يترجم إلى "الوتر" ، والذي تم تبنيه بدوره من اليونانية القديمة χορδή "سلسلة". [34]

الكلمة ظل يأتي من اللاتينية تانجينز بمعنى "اللمس" ، منذ السطر اللمسات دائرة نصف قطر الوحدة ، بينما قاطع ينبع من اللاتينية secans- "القطع" - منذ الخط cuts the circle. [35]

The prefix "co-" (in "cosine", "cotangent", "cosecant") is found in Edmund Gunter's Canon triangulorum (1620), which defines the cosinus as an abbreviation for the sinus complementi (sine of the complementary angle) and proceeds to define the cotangens similarly. [36] [37]


Fast 16-bit approximation of cos(x).

This approximation never varies more than 0.69% from the floating point value you'd get by doing

حدود

thetainput angle from 0-65535
Returns sin of theta, value between -32767 to 32767.

Definition at line 120 of file trig8.h.

Fast 8-bit approximation of cos(x).

This approximation never varies more than 2% from the floating point value you'd get by doing

حدود

thetainput angle from 0-255
Returns sin of theta, value between 0 and 255

Definition at line 253 of file trig8.h.

Fast 16-bit approximation of sin(x).

This approximation never varies more than 0.69% from the floating point value you'd get by doing

حدود

thetainput angle from 0-65535
Returns sin of theta, value between -32767 to 32767.

Definition at line 30 of file trig8.h.

Fast 16-bit approximation of sin(x).

This approximation never varies more than 0.69% from the floating point value you'd get by doing

حدود

thetainput angle from 0-65535
Returns sin of theta, value between -32767 to 32767.

Definition at line 88 of file trig8.h.

Fast 8-bit approximation of sin(x).

This approximation never varies more than 2% from the floating point value you'd get by doing

حدود

thetainput angle from 0-255
Returns sin of theta, value between 0 and 255

Definition at line 159 of file trig8.h.

Fast 8-bit approximation of sin(x).

This approximation never varies more than 2% from the floating point value you'd get by doing

حدود

thetainput angle from 0-255
Returns sin of theta, value between 0 and 255

Definition at line 217 of file trig8.h.


Awk only provides sin(), cos() و atan2(), the three bare necessities for trigonometry. They all use radians. To calculate the other functions, we use these three trigonometric identities:

tangent arcsine arccosine
tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ >> tan ⁡ ( arcsin ⁡ y ) = y 1 − y 2 >>>> tan ⁡ ( arccos ⁡ x ) = 1 − x 2 x >>>>

With the magic of atan2(), arcsine of ذ is just atan2(y, sqrt(1 - y * y)), and arccosine of x is just atan2(sqrt(1 - x * x), x). This magic handles the angles arcsin(-1), arcsin 1 و arccos 0 that have no tangent. This magic also picks the angle in the correct range, so arccos(-1/2) يكون 2*pi/3 and not some wrong answer like -pi/3 (though tan(2*pi/3) = tan(-pi/3) = -sqrt(3).)

atan2(y, x) actually computes the angle of the point (س ، ص), in the range [-pi, pi]. When x > 0, this angle is the principle arctangent of y/x, in the range (-pi/2, pi/2). The calculations for arcsine and arccosine use points on the unit circle at x 2 + y 2 = 1. To calculate arcsine in the range [-pi/2, pi/2], we take the angle of points on the half-circle x = sqrt(1 - y 2 ). To calculate arccosine in the range [0, pi], we take the angle of points on the half-circle y = sqrt(1 - x 2 ).


Ex 3.3 Class 11 Maths Question 1.
Prove that:
المحلول.
L.H.S. =

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 2.

المحلول.
L.H.S. =

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 3.

المحلول.
L.H.S. =

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 4.

المحلول.
L.H.S. =

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 5.
Find the value of:
(i) sin 75°
(ii) tan 15°
المحلول.
(i) sin (75°) = sin (30° + 45°)

(ii) tan 15° = tan (45° – 30°)

Prove the following:
Ex 3.3 Class 11 Maths Question 6.

المحلول.
لدينا،

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 7.

المحلول.
لدينا،

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 8.

المحلول.
لدينا،

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 9.

المحلول.
لدينا،

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 10.
sin(n +1 )x sin(n + 2)x + cos(n +1 )x cos(n + 2)x = cosx
المحلول.
لدينا،

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 11.

المحلول.
لدينا،

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 12.
sin 2 6x – sin 2 4x= sin 2 x sin10x
المحلول.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 13.
cos 2 2x – cos 2 6x = sin 4x sin 8x
المحلول.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 14.
sin2x + 2 sin 4x + sin 6x = 4 cos 2 x sin 4x
المحلول.
لدينا،

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 15.
cot 4x (sin 5x + sin 3x) = cot x (sin 5x – sin 3x)
المحلول.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 16.

المحلول.
لدينا،

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 17.

المحلول.
لدينا،

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 18.

المحلول.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 19.

المحلول.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 20.

المحلول.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 21.

المحلول.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 22.
cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot3x cotx = 1
المحلول.
We know that 3x = 2x + x.
وبالتالي،

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 23.

المحلول.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 24.
cos 4x = 1 – 8 sin 2 x cos 2 x
المحلول.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 25.
cos 6x = 32 cos6 x – 48 cos 4 x + 18 cos 2 x -1
المحلول.

We hope the NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 3 Trigonometric Functions Ex 3.3 help you. If you have any query regarding NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 3 Trigonometric Functions Ex 3.3, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


Mathematica Q&A: Plotting Trig Functions in Degrees

Got a question about Mathematica؟ The Wolfram Blog has answers! We’ll regularly answer selected questions from users around the web. You can submit your question directly to the Q&A Team using this form.

This week’s question comes from Brian, who is a part-time math teacher:

How do you plot trigonometric functions in degrees instead of radians?

Trigonometric functions in Mathematica مثل Sin[x] و Cos[x] يأخذ x to be given in radians:

To convert from degrees to radians, multiply by π &frasl 180. This special constant is called الدرجة العلمية في Mathematica.

The symbol ° is a handy shorthand for الدرجة العلمية and is entered as Esc-d-e-g-Esc. You can also find this symbol in the Basic Math Assistant palette in the Palettes menu of Mathematica.

Using either الدرجة العلمية or °, you can plot trigonometric functions in degrees:

That answers the main question, but here’s a related hint.

When plotting trigonometric functions in degrees, you might also want to manually specify exactly where Mathematica draws tick marks. You can do this using the Ticks option:

(Here, Range[0, 360, 45] specifies the tick marks on the x axis, and تلقائي uses the default tick marks on the ذ axis.)

ال Ticks option is very flexible. You can specify where tick marks are drawn, what labels they should have, how long they are, and even colors and styles.

Download the Computable Document Format (CDF) file for this post to see how to get the custom tick marks used in this plot:

If you have a question you’d like to see answered in this blog, you can submit it to the Q&A Team using this form.


Formal Definitions

Consider the following right triangle:

The sides with respect to angle θ heta θ are

sin ⁡ θ = ( opposite ) ( hypotenuse ) = b c cos ⁡ θ = ( adjacent ) ( hypotenuse ) = a c tan ⁡ θ = ( opposite ) ( adjacent ) = b a . يبدأ sin heta &= frac<( ext)><( ext)> = frac cos heta &= frac<( ext)><( ext)> = frac an heta &= frac<( ext)><( ext)> = frac. نهاية sin θ cos θ tan θ ​ = ( hypotenuse ) ( opposite ) ​ = c b ​ = ( hypotenuse ) ( adjacent ) ​ = c a ​ = ( adjacent ) ( opposite ) ​ = a b ​ .

We also have the following reciprocal functions


Course Content Menu

Chapter 1 - The Six Trigonometric Functions

Lessonsالواجب المنزلياختبار
1.1 - The Rectangular Coordinate System1.11.1
1.2 - Angles, Degrees and Special Triangles1.21.2
1.3 - Trigonometric Functions1.31.3
1.4 - Introduction to the Unit Circle1.41.4
Chapter 1 Test ( 15 questions )
Chapter 2 - Trigonometry

Lessonsالواجب المنزلياختبار
2.1 - Right Triangle Trigonometry2.12.1
2.2 - Other Angles and Trigonometric Functions2.22.2
2.3 - Solving Right Triangles2.32.3
2.4 - Applications2.42.4
Chapter 2 Test ( 18 questions )
Chapter 3 - Radian Measure

Lessonsالواجب المنزلياختبار
3.1 - Reference Angle3.13.1
3.2 - Radians and Degrees3.23.2
3.3 - Circular Functions3.33.3
3.4 - Arc Length and Area of a Sector3.43.4
3.5 - Velocity3.53.5
Chapter 3 Test ( 22 questions )
Chapter 4 - Graphs of Trigonometric Functions

Lessonsالواجب المنزلياختبار
4.1 - Graphs of Basic Trigonometry Functions4.14.1
4.2 - Amplitude and Period4.24.2
4.3 - Phase Shift4.34.3
4.4 - Equations of Graphs4.44.4
4.5 - Relations & Functions4.54.5
4.6 - Inverse Trigonometric Functions4.64.6
Chapter 4 Test ( 26 questions )
Chapter 5 - Trigonometric Identities

Lessonsالواجب المنزلياختبار
5.1 - Proving Identities5.15.1
5.2 - Sum and Difference Formulas5.25.2
5.3 - Double-Angle Formulas5.35.3
5.4 - Half-Angle Formulas5.45.4
5.5 - More Identities5.55.5
Chapter 5 Test ( 22 questions )
Chapter 6 - Trigonometric Equations

Lessonsالواجب المنزلياختبار
6.1 - Trigonometric Equations6.16.1
6.2 - More Trigonometric Equations6.26.2
6.3 - Trigonometric Equations & Multiple Angles6.36.3
6.4 - Parametric Equations6.46.4
Chapter 6 Test ( 20 questions )
Chapter 7 - Triangles

Lessonsالواجب المنزلياختبار
7.1 - Law of Cosines7.17.1
7.2 - Law of Sines7.27.2
7.3 - Area of a Triangle7.37.3
7.4 - Vectors7.47.4
Chapter 7 Test ( 27 questions )
Chapter 8 - Polar Coordinates & Complex Numbers

Lessonsالواجب المنزلياختبار
8.1 - Complex Numbers8.18.1
8.2 - Trigonometric Form of a Complex Number8.28.2
8.3 - Products and Quotients in Trigonometric Form8.38.3
8.4 - Roots of a Complex Number8.48.4
8.5 - Polar Coordinates8.58.5
8.6 - Equations with Polar Coordinates and Their Graphs8.68.6
Chapter 8 Test ( 21 questions )
Trigonometry Final Exam


1.8: Relating Trigonometric Functions - Mathematics

Chapter 4 - Trigonometry and the Unit Circle <- link to CEMC Waterloo

​ 4.1 Angles and Angle Measure - CEMC Radian Measure

Choose at least 5 from Practice section (at least one of 12 and 13)

Choose at least 4 from the Apply/Extend section (one from Extend)

Choose at least 1 from the Create Connections section

Extension # 19 (engineering), 24, C5

Choose at least 5 from Practice section (at least two letters each)

Choose at least 4 from the Apply/Extend section (one from Extend)

Choose at least 1 from the Create Connections section

4.3 Trigonometric Ratios (Unit Circle Worksheet)

Choose at least 4 from Practice section (at least three letters each)

Choose at least 5 from the Apply/Extend section (one from Extend)

Choose at least 1 from the Create Connections section

​4.4 Intro to Trig Equations - CEMC - Trig Equations

Choose at least 5 from Practice section (at least three letters each)

Choose at least 4 from the Apply/Extend section (one from Extend)

Choose at least 2 from the Create Connections section

Ch4 Review - ​ Pages 215-217 &ndash 4.1 # 1-6 (at least 3)

​​Ch4 ​Trigonometry Unit Test

Chapter 5 - Trigonometric Functions and Graphs

5.1 Graphing Sine and Cosine Functions

Assigned: Pages 233-237 - # 3, 4cd, 5, 6-10, 12, 14, 15, 18 ,19, C2, C4

5.2 Transformations of Sinusoidal Functions

Assigned: Part 1 - Trig Graphs Practice

Pages 250-255 - # 5, 7, 9, 10, 13, 15, 16, 21, 23, C2, C3

Assigned: Pages 262-265 - Student Choice

5.4 Equations & Graphs of Trig Functions

Assigned: Pages 275-281 - # 1, 3, 7, 8, 10, 11, 17, 19,21, C1, C2

Trigonometry Function and Graphs Review

Ch5 Trig Functions and Graphs Test

Graphing Calculator and/or GEOGEBRA App part of test

Chapter 6 - Trigonometric Identities

6.1a Reciprocal, Quotient, and Pythagorean Identities

​​ Assigned: Practice in Study Guide # 1 - 11 1 - 6

6.1b Reciprocal, Quotient, and Pythagorean Identities

Assigned: Pages 296-298 - # 1, 5, 6 (graph calc/app), 7, 9, 12, 14, C1, C2

6.2 Sum, Difference, and Double Angle Identities

Assigned: Pages 306-308 - # 1ace, 2ace, 3, 4ace, 5-8, 10

6.3a Proofs using basic identities

6.3b Proofs using sum and difference identities

6.3c Proofs using double angle identities

Extension page 315 # 16, 17, 18, 19

6.4 Solving Trig Equations using identities

Assigned: Pages 320-321 - # 1, 2acd, 3, 5, 6, 8-12, 15, 16

Assigned: Pages 322-323 - # 1bd, 2cd, 3, 7bc, 8d, 9bc, 11, 12, 13c, 17, 19

Chapter 7/8 - Exponential & Logarithmic Functions

7.3 Solving Exponential Equations: Part 1

​​ Assigned: Pages 364-365 # 1-3, C1, C2

Practice in Study Guide # 1 - 8

Extension page 365 # 16, 17

8.1 Understanding Logarithms

​​ Assigned: Pages 380-382 # 2-7, 12-14

Practice in Study Guide # 1 - 15

Practice in Study Guide # 1 - 4

Extension page 381 # 21, 22, 24

​​ Assigned: Pages 400-403 # 1-3,7-11, 15, C2, C3

Practice in Study Guide # 1 - 13

Practice in Study Guide # 14 - 20

8.4 Solving Exponential Equations: Part 2

​​ Assigned: Pages 412-415 # 2, 7, C1

Practice in Study Guide # 1 - 12

Extension page 415 # 19, 22

8.4 Solving Logarithmic Equations

​​ Assigned: Pages 412-415 # 1ac, 4, 5, 6, 8e

Practice in Study Guide # 1 - 4

Practice in Study Guide # 5 - 16- 4

Extension page 415 # 20, 21

8.3 Law of Logarithms - Change of Base

​​ Assigned: Practice in Study Guide # 1 - 3

Practice in Study Guide # 4, 5

Practice in Study Guide # 6

Extension page 402 # 19, 20

7.1/7.2 Characteristics & Transformations of Exponential Functions

​​ Assigned: Pages 342-343 # 1-4, 5ac

Pages 351-355 # 1abc, 2, 3abc, 4d, 6abc, 7ab, C1, C2b

Practice in Study Guide # 1-3

8.1/8.2 Characteristics & Transformations of Logarithmic Functions

​​ Assigned: Pages 380-381 # 1,b, 7, 9, 10, 15, 16, 17, C1

Pages 389-391 # 1a, 2, 4ab, 5ac, 6ac, 10a Ext 15, 16a, 17

Practice in Study Guide # 1-7

7.1 Applications of Exponential Growth and Decay

​​ Assigned: Pages 342-344 # 6, 7b, 8ac, 9ad, 10acd, 11, 12

8.1-8.4 Application of Logarithmic Scales

​​ Assigned: Selected Problems # 1-11

Ch7&8 Exponents and Logarithms Test - Part A (Lessons 1 - 6)

Ch7&8 Exponents and Logarithms Test - Part B (Lessons 7 - 10)

Chapter 2 - Radical Functions

2.1 Radical Functions and Transformations

Assigned: Pages 72-77 : Practice section #1-5 (at least 2 letters each)

at least 6 from Apply/Extend (A/E) section

at least 1 question from Create Connections (CC) section

2.2 Square Root of a Function

Assigned: Pages 86-89 : at least 5 from Practice section (all parts)

at least 5 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 from Create Connections (CC) section

2.3 Solving Radical Equations

Assigned: Pages 96-98 : Practice section #1-7 (at least 2 letters each)

at least 6 from Apply/Extend (A/E)

at least 2 questions from CC section

Assigned: Pages 99-101 : #1-6 [at least 4 (all parts)]

# 13-15 (pick 2) 16 all 17 or 18

Radical Functions Test - Feb 27/28 (may stay up to 30 minutes extra)

Chapter 9 - Rational Functions <- link to CEMC Waterloo

9.1 Transformations of Rational Functions

Assigned: Pages 442-445 : Practice section #1-6 (at least 2 letters each)

# 7, 8, 9 and at least 7 more from Apply/Extend (A/E) section

at least 1 question from Create Connections (CC) section

9.2 Analyzing Rational Functions

Assigned: Pages 451-456 : Practice section #1-6 (at least 2 letters each)

at least 9 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 from Create Connections (CC) section

9.3 Connecting Graphs to Rational Equations

Assigned: Pages 465-467 : Practice section #1-6 (at least 2 letters each)

at least 6 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 questions from CC section

Assigned: Pages 468-469 : #1-11 [at least 10]

Chapter 10 - Function Operations <- link to CEMC Waterloo

10.1 Sums and Differences of Functions

Assigned: Pages 483-487 : Practice section #1-8 (at least 2 letters each)

at least 6 from Apply/Extend (A/E)

at least 2 question from Create Connections (CC) section

10.2 Products and Quotients of Functions

Assigned: Pages 496-498 : Practice section #1-5 (at least 2 letters each)

at least 8 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 question from Create Connections (CC) section

10.3 Composition of Functions

Assigned: Pages 507-509 : Practice section #1-7 (at least 2 letters each)

at least 12 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 questions from CC section

Assigned: Pages 510-511 : 10.1 - at least 4 questions

10.2 - at least 4 questions

10.3 - at least 5 questions

Chapter 3 - Polynomial Functions <- link to CEMC Waterloo

3.1 Characteristics of Polynomial Functions

Assigned: Pages 114-117: Practice section #1-4 (at least 2 letters each)

at least 4 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 questions from CC section

Assigned: Pages 124-125: at least 4 from Practice section (2 letters each)

at least 4 from Apply/Extend (A/E)

Assigned: Pages 133-135: at least 4 from Practice section (2 letters each)

at least 4 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 questions from CC section

3.4 Equations and Graphs of Polynomial Functions

Assigned: Pages 147-152: at least 4 from Practice section (2 letters each)


شاهد الفيديو: تكامل الدوال المثلثية والاسية واللوغارثمية مع حل اسئلة امتحان (شهر نوفمبر 2021).